limx→0 sin(12x)/tan(6x) limiti için aşağıdaki öğrenci yorumlarından hangisi doğrudur?
A) "Pay ve paydanın katsayıları aynı olduğu için limit 1'dir"
B) "Payın katsayısı paydanın katsayısının 2 katı olduğu için limit 2'dir"
C) "Paydanın katsayısı payın katsayısının yarısı olduğu için limit 1/2'dir"
D) "Bu limit trigonometrik limit kurallarına uymaz"
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, trigonometrik limitlerin temel kurallarını kullanarak bir limiti nasıl hesaplayacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Limit sorularında genellikle belirsizlik durumlarını ortadan kaldırmak için özel kurallar veya cebirsel manipülasyonlar kullanırız. Hadi başlayalım!
-
Öncelikle, verilen limiti inceleyelim: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(12x)}{\tan(6x)}$.
-
$x \to 0$ için pay ve paydayı ayrı ayrı değerlendirelim:
- Pay: $\sin(12x)$. $x \to 0$ iken $12x \to 0$, dolayısıyla $\sin(12x) \to \sin(0) = 0$.
- Payda: $\tan(6x)$. $x \to 0$ iken $6x \to 0$, dolayısıyla $\tan(6x) \to \tan(0) = 0$.
Bu durumda bir $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşı karşıyayız. Bu, limitin var olabileceği ve hesaplanabileceği anlamına gelir.
-
Trigonometrik limitlerin temel kurallarını hatırlayalım. $a \neq 0$ olmak üzere:
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$
Bu kurallardan yola çıkarak, daha genel bir kural da türetebiliriz: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$ ve $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$.
Benzer şekilde, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\tan(bx)} = \frac{a}{b}$ kuralını da kullanabiliriz.
-
Şimdi bu kuralı sorumuzdaki ifadeye uygulayalım: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(12x)}{\tan(6x)}$.
Burada $\sin$ fonksiyonunun içindeki $x$'in katsayısı $a = 12$ ve $\tan$ fonksiyonunun içindeki $x$'in katsayısı $b = 6$'dır.
-
Kurala göre limitin değeri $\frac{a}{b}$ olacaktır. Yani $\frac{12}{6}$.
-
Hesaplamayı yaptığımızda: $\frac{12}{6} = 2$.
-
Bu durumda, limitin değeri 2'dir. Şimdi öğrenci yorumlarını inceleyelim:
- A) "Pay ve paydanın katsayıları aynı olduğu için limit 1'dir" - Yanlış. Katsayılar 12 ve 6, aynı değiller.
- B) "Payın katsayısı paydanın katsayısının 2 katı olduğu için limit 2'dir" - Doğru. Payın katsayısı (12), paydanın katsayısının (6) 2 katıdır ($12 = 2 \times 6$). Limit değeri de 2'dir.
- C) "Paydanın katsayısı payın katsayısının yarısı olduğu için limit 1/2'dir" - Yanlış. Bu durum $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ sonucunu verirdi, ki bu doğru değildir.
- D) "Bu limit trigonometrik limit kurallarına uymaz" - Yanlış. Bu limit, trigonometrik limitlerin temel kurallarına mükemmel bir şekilde uyar.
Gördüğümüz gibi, temel trigonometrik limit kurallarını bilmek, bu tür soruları hızlı ve doğru bir şekilde çözmemizi sağlar.
Cevap B seçeneğidir.
