Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek, pozitif tam bölen sayısı kavramını daha iyi anlayacağız ve doğru cevaba ulaşacağız.
Adım 1: Pozitif Tam Bölen Sayısı Nasıl Bulunur?
- Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
- Diyelim ki sayımız $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_n^{a_n}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun. Burada $p_1, p_2, ..., p_n$ farklı asal sayılar ve $a_1, a_2, ..., a_n$ pozitif tam sayılardır.
- Bu durumda, $N$ sayısının pozitif tam bölen sayısı $(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_n + 1)$ formülü ile bulunur.
Adım 2: Pozitif Tam Bölen Sayısı 9 Olan Sayıları İnceleyelim
- Pozitif tam bölen sayısının 9 olmasını istiyoruz. Yani $(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_n + 1) = 9$ olmalı.
- 9'u çarpanlarına ayıralım: $9 = 9$ veya $9 = 3 \cdot 3$.
Adım 3: Durumları Değerlendirelim
- Durum 1: Eğer sadece bir asal çarpan varsa, $a_1 + 1 = 9$ olmalı. Bu durumda $a_1 = 8$ olur. Yani sayımız $p^8$ şeklinde olacak. En küçük olması için $p=2$ seçeriz. Bu durumda sayımız $2^8 = 256$ olur.
- Durum 2: Eğer iki asal çarpan varsa, $(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) = 3 \cdot 3$ olmalı. Bu durumda $a_1 = 2$ ve $a_2 = 2$ olur. Yani sayımız $p_1^2 \cdot p_2^2$ şeklinde olacak. En küçük olması için $p_1 = 2$ ve $p_2 = 3$ seçeriz. Bu durumda sayımız $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ olur.
Adım 4: En Küçük Sayıyı Bulalım
- Durum 1'de 256 sayısını, Durum 2'de 36 sayısını bulduk.
- Bu iki sayıdan en küçüğü 36'dır.
Sonuç
Pozitif tam bölen sayısı 9 olan en küçük pozitif tam sayı 36'dır.
Cevap C seçeneğidir.
