\(R(x) = (k-3)x^{m} + nx^2 - 4x + 1\) ifadesi bir polinom olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) \(m\) doğal sayı olmalıdır
B) \(k\) herhangi bir gerçek sayı olabilir
C) \(n\) herhangi bir gerçek sayı olabilir
D) \(m\) negatif tam sayı olabilir
Bir ifadenin polinom olabilmesi için bazı temel kuralları hatırlayalım:
- Bir polinomdaki değişkenlerin (burada $x$) kuvvetleri (üsleri) daima doğal sayılar olmalıdır. Yani, $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Kesirli veya negatif üsler içeren ifadeler polinom değildir.
- Bir polinomdaki terimlerin katsayıları herhangi bir gerçek sayı olabilir.
Şimdi verilen $R(x) = (k-3)x^{m} + nx^2 - 4x + 1$ ifadesini inceleyelim ve seçenekleri değerlendirelim:
- A) $m$ doğal sayı olmalıdır
$R(x)$ ifadesinde $x$'in kuvvetlerinden biri $m$'dir. Polinom tanımına göre, değişkenin kuvveti doğal sayı (negatif olmayan tam sayı) olmalıdır. Bu nedenle, $m \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ olmalıdır. Bu ifade doğrudur.
- B) $k$ herhangi bir gerçek sayı olabilir
$k$, $x^m$ teriminin katsayısı olan $(k-3)$ ifadesinin bir parçasıdır. Polinomlarda katsayılar herhangi bir gerçek sayı olabilir. Dolayısıyla, $(k-3)$ ifadesi herhangi bir gerçek sayı olabilir, bu da $k$'nın da herhangi bir gerçek sayı olabileceği anlamına gelir. Bu ifade doğrudur.
- C) $n$ herhangi bir gerçek sayı olabilir
$n$, $x^2$ teriminin katsayısıdır. Polinomlarda katsayılar herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu nedenle, $n$ herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu ifade doğrudur.
- D) $m$ negatif tam sayı olabilir
Polinom tanımına göre, değişkenin kuvveti negatif bir tam sayı olamaz. Eğer $m$ negatif bir tam sayı olsaydı (örneğin $m=-1$), $x^m$ terimi $x^{-1} = \frac{1}{x}$ şeklinde olurdu ki bu bir polinom terimi değildir. Bu nedenle, $m$ negatif tam sayı olamaz. Bu ifade yanlıştır.
Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
