Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Üslü sayılar ve köklü ifadeler konusundaki bilgimizi kullanarak doğru cevaba ulaşacağız.
- Adım 1: En içteki kökten başlayalım. $ \sqrt{5} $ ifadesini $ 5^{\frac{1}{2}} $ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: Bir sonraki kökü ele alalım. Şimdi ifademiz $ \sqrt{5\sqrt{5}} = \sqrt{5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}} $ haline geldi. Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır. Yani, $ 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} $ olur. Bu durumda ifademiz $ \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} $ şekline dönüşür.
- Adım 3: Kökten kurtulalım. $ \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} $ ifadesini $ (5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} $ şeklinde yazabiliriz. Üssün üssü alındığında üsler çarpılır. Yani, $ (5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}} $ olur.
- Adım 4: Son kökü de hesaba katalım. Şimdi ifademiz $ \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}} = \sqrt{5 \cdot 5^{\frac{3}{4}}} $ haline geldi. Yine üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır. Yani, $ 5 \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 5^{1 + \frac{3}{4}} = 5^{\frac{7}{4}} $ olur. Bu durumda ifademiz $ \sqrt{5^{\frac{7}{4}}} $ şekline dönüşür.
- Adım 5: Son olarak kökten kurtulalım. $ \sqrt{5^{\frac{7}{4}}} $ ifadesini $ (5^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} $ şeklinde yazabiliriz. Üssün üssü alındığında üsler çarpılır. Yani, $ (5^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{7}{8}} $ olur.
Gördüğünüz gibi, adım adım ilerleyerek doğru cevaba ulaştık.
Cevap A seçeneğidir.
