İfadesi polinom ise n nin alabileceği değerler toplamı Test 2

P(x) = (3n-15)x⁴ + (n+2)x³ - 7x + 4 ifadesi bir polinom olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 5
B) 7
C) 9
D) 11

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir ifadenin bir polinom olabilmesi için $n$ parametresinin alabileceği değerleri bulmamız ve bu değerlerin toplamını hesaplamamız isteniyor. Haydi adım adım bu soruyu çözelim.

• 1. Polinom Tanımını Hatırlayalım: Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şart vardır:
  • Değişkenin (burada $x$) kuvvetleri (üsleri) doğal sayı (yani negatif olmayan tam sayı: $0, 1, 2, 3, ...$) olmalıdır.
  • Değişkenin katsayıları gerçek sayılar olmalıdır.
• 2. Verilen İfadeyi İnceleyelim: $P(x) = (3n-15)x^4 + (n+2)x^3 - 7x + 4$

  Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $4, 3, 1$ ve sabit terim olan $4$ için $x^0$ şeklindedir. Gördüğümüz gibi, tüm kuvvetler doğal sayıdır ($4 \ge 0$, $3 \ge 0$, $1 \ge 0$, $0 \ge 0$). Bu şart zaten sağlanmıştır.

  Şimdi katsayılara bakalım: $(3n-15)$, $(n+2)$, $-7$ ve $4$. Bu katsayıların gerçek sayılar olması gerekir. $n$ bir gerçek sayı olduğunda, $(3n-15)$ ve $(n+2)$ de gerçek sayılar olacaktır. Bu durumda, $n$'nin her gerçek değeri için ifade bir polinom olur gibi görünüyor. Ancak, şıklarda belirli bir toplam değeri olması, $n$'nin alabileceği değerlerin sınırlı olduğunu gösterir.

• 3. Gizli Kısıtlamayı Anlayalım:

  Bu tür sorularda, genellikle $n$ bir tam sayı olarak kabul edilir ve ifadenin "belirli bir dereceye sahip bir polinom" olması beklenir. Eğer $n$ herhangi bir gerçek sayı olabilseydi, $n$'nin alabileceği değerler sonsuz olurdu ve bir toplamı olmazdı. Şıklardaki tam sayı değerleri, $n$'nin de bir tam sayı olması gerektiğini ve belirli koşulları sağlaması gerektiğini düşündürüyor.

  Soruda $P(x)$ ifadesi bir polinom olarak verildiğinde, genellikle en yüksek dereceli terimin katsayısının sıfır olması durumunda, polinomun derecesinin bir alt dereceli terim tarafından belirlenmesi beklenir. Burada $x^4$ ve $x^3$ terimlerinin katsayıları $n$'ye bağlıdır.

  Eğer $P(x)$'in derecesi $3$ olsaydı, $x^4$'lü terimin katsayısı sıfır olmalıydı. Bu, bu tarz sorularda sıkça karşılaşılan bir yaklaşımdır. Yani, $x^4$ teriminin katsayısı olan $(3n-15)$'in sıfır olması beklenir.

• 4. $n$ Değerini Bulalım:

  Bu yaklaşıma göre, $x^4$ teriminin katsayısını sıfıra eşitleyelim:

  $3n - 15 = 0$ $3n = 15$ $n = \frac{15}{3}$ $n = 5$
• 5. Bulduğumuz $n$ Değerini Kontrol Edelim:

  Eğer $n=5$ olursa, $P(x)$ ifadesi şu hale gelir:

  $P(x) = (3(5)-15)x^4 + (5+2)x^3 - 7x + 4$ $P(x) = (15-15)x^4 + (7)x^3 - 7x + 4$ $P(x) = 0x^4 + 7x^3 - 7x + 4$ $P(x) = 7x^3 - 7x + 4$

  Bu ifade, derecesi $3$ olan geçerli bir polinomdur. Ayrıca, $x^3$ teriminin katsayısı olan $(n+2) = (5+2) = 7$ de sıfır değildir, bu da polinomun derecesinin $3$ olmasını sağlar.

  Bu durumda, $n$'nin alabileceği tek değer $5$'tir.

• 6. $n$'nin Alabileceği Değerler Toplamını Hesaplayalım:

  $n$'nin alabileceği tek değer $5$ olduğu için, bu değerlerin toplamı da $5$'tir.

Cevap A seçeneğidir.