Dönüşüm formülleri (Toplamı çarpıma çevirme) Test 2

sin105° - sin15° ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D) \(\frac{1}{2}\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki sinüs değerinin farkını en sade şekilde bulmamız isteniyor. Bunun için trigonometrik dönüşüm formüllerinden yararlanacağız. Adım adım ilerleyelim:

Adım 1: Kullanacağımız Formülü Belirleyelim

İki sinüs değerinin farkını içeren ifadeleri sadeleştirmek için "farkı çarpıma dönüştürme" formülünü kullanırız. Bu formül şöyledir:

• $sinA - sinB = 2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Bu formül, karmaşık görünen ifadeleri daha basit trigonometrik değerlere dönüştürmemizi sağlar.

Adım 2: A ve B Değerlerini Belirleyip Toplam ve Farklarını Hesaplayalım

Verilen ifadede $sin105° - sin15°$ olduğu için, $A = 105°$ ve $B = 15°$ olarak alabiliriz. Şimdi bu açıların toplamını ve farkını bulup ikiye bölelim:

• $A+B = 105° + 15° = 120°$
• $\frac{A+B}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$
• $A-B = 105° - 15° = 90°$
• $\frac{A-B}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$

Gördüğünüz gibi, bu işlemler sonucunda $60°$ ve $45°$ gibi özel açılar elde ettik. Bu açıların trigonometrik değerlerini biliyoruz, bu da işimizi kolaylaştıracak.

Adım 3: Formülü Uygulayalım

Hesapladığımız $\frac{A+B}{2}$ ve $\frac{A-B}{2}$ değerlerini formülde yerine yazalım:

• $sin105° - sin15° = 2cos(60°)sin(45°)$

Artık ifade, bilinen özel açıların kosinüs ve sinüs değerlerinin çarpımı haline geldi.

Adım 4: Bilinen Trigonometrik Değerleri Yerine Koyalım

Şimdi $cos(60°)$ ve $sin(45°)$ değerlerini hatırlayalım:

• $cos(60°) = \frac{1}{2}$
• $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bu değerleri denklemdeki yerlerine yazalım:

• $sin105° - sin15° = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Adım 5: İfadeyi Sadeleştirelim

Son olarak, çarpma işlemini yaparak ifadeyi en sade haline getirelim:

• $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Böylece $sin105° - sin15°$ ifadesinin en sade şeklini $\frac{\sqrt{2}}{2}$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.