Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım ve dikkatlice çözerek, benzer soruları da rahatlıkla çözebilecek hale geleceksiniz. Unutmayın, matematik sabır ve pratik ister!
Öncelikle soruyu anlamaya çalışalım: Bir torbadaki bilyeleri 5'erli ve 7'şerli saydığımızda farklı miktarlarda bilye artıyor. Bizden istenen ise torbadaki bilye sayısının 100'den fazla olduğu bilindiğine göre, bu sayının en az kaç olabileceği.
Şimdi adım adım çözüme geçelim:
- Adım 1: Bilye sayısına bir değişken atayalım. Torbadaki bilye sayısına "x" diyelim.
- Adım 2: Soruda verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim.
- 5'erli sayıldığında 3 bilye artıyorsa: x = 5k + 3 (k bir tam sayı)
- 7'şerli sayıldığında 5 bilye artıyorsa: x = 7m + 5 (m bir tam sayı)
- Adım 3: İki denklemi birleştirmeye çalışalım. Her iki durumda da "x" aynı bilye sayısını ifade ediyor. Bu nedenle:
5k + 3 = 7m + 5
- Adım 4: Denklemi düzenleyelim.
5k = 7m + 2
- Adım 5: Bu noktada, "m" ve "k" için uygun tam sayı değerleri bulmamız gerekiyor. Deneme yanılma yoluyla veya daha sistematik yöntemlerle bu değerleri bulabiliriz. "m" yerine değerler vererek "k" nın tam sayı olup olmadığını kontrol edelim.
- m = 1 için: 5k = 7(1) + 2 => 5k = 9 => k tam sayı değil
- m = 2 için: 5k = 7(2) + 2 => 5k = 16 => k tam sayı değil
- m = 3 için: 5k = 7(3) + 2 => 5k = 23 => k tam sayı değil
- m = 4 için: 5k = 7(4) + 2 => 5k = 30 => k = 6 (k tam sayı)
m=4 değeri için k=6 değerini bulduk.
- Adım 6: Bulduğumuz m=4 değerini kullanarak x değerini hesaplayalım.
x = 7m + 5 = 7(4) + 5 = 28 + 5 = 33. Bu değer 100'den küçük olduğu için sorunun şartını sağlamıyor.
- Adım 7: Bulduğumuz ilk çözümü kullanarak genel çözümü bulalım. 5 ve 7'nin en küçük ortak katı (EKOK) 35'tir. Bu nedenle, genel çözümümüz x = 33 + 35n şeklindedir (n bir tam sayı).
- Adım 8: x'in 100'den büyük olmasını sağlayacak en küçük "n" değerini bulalım.
- n = 1 için: x = 33 + 35(1) = 68 (100'den küçük)
- n = 2 için: x = 33 + 35(2) = 103 (100'den büyük)
n = 2 için x = 103 değerini bulduk.
Sonuç olarak, torbadaki bilye sayısı 100'den fazla olduğuna göre en az 103 olabilir.
Cevap C seçeneğidir.
