10. Sınıf Bölünebilme Kuralları Test 1

Bir sayı $N = 7X5Y$ dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayı 11'e tam bölünebilmektedir. Ayrıca, $X$ ve $Y$ rakamları birbirinden farklıdır. Buna göre, $X-Y$ farkının alabileceği kaç farklı değer vardır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek 11 ile bölünebilme kuralını ve rakamların önemini kavrayacağız. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: 11 ile Bölünebilme Kuralını Hatırlayalım

Bir sayının 11 ile tam bölünebilmesi için, sayının rakamlarının sağdan sola doğru (+, -, +, -) şeklinde işaretlenerek toplanmasıyla elde edilen sonucun 0, 11 veya 11'in bir katı olması gerekir.

• 2. Adım: Sayımıza Uygulayalım

Sayımız $N = 7X5Y$. 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım:

$Y - 5 + X - 7 = 11k$ (Burada $k$ bir tam sayıdır.)

Denklemi düzenlersek:

$X + Y - 12 = 11k$

$X + Y = 11k + 12$

• 3. Adım: $X$ ve $Y$'nin Alabileceği Değerleri Belirleyelim

$X$ ve $Y$ birer rakam olduğu için (0-9 arası değerler alabilirler), $X + Y$'nin alabileceği en küçük değer 0 (eğer $X=0$ ve $Y=0$ ise) ve en büyük değer 18'dir (eğer $X=9$ ve $Y=9$ ise).

Bu durumda, $11k + 12$ ifadesi 0 ile 18 arasında olmalıdır.

Eğer $k = -1$ ise, $X + Y = 11(-1) + 12 = 1$.

Eğer $k = 0$ ise, $X + Y = 11(0) + 12 = 12$.

• 4. Adım: $X + Y = 1$ Durumunu İnceleyelim

$X + Y = 1$ ise ve $X$ ve $Y$ birbirinden farklı rakamlar ise, olası durumlar şunlardır:

• $X = 1$, $Y = 0$
• $X = 0$, $Y = 1$

Bu durumda $X - Y$ farkı 1 veya -1 olabilir.

• 5. Adım: $X + Y = 12$ Durumunu İnceleyelim

$X + Y = 12$ ise ve $X$ ve $Y$ birbirinden farklı rakamlar ise, olası durumlar şunlardır:

• $X = 3$, $Y = 9$
• $X = 4$, $Y = 8$
• $X = 5$, $Y = 7$
• $X = 6$, $Y = 6$ (Ancak $X$ ve $Y$ farklı olmalı, bu yüzden bu durum geçersiz.)
• $X = 7$, $Y = 5$
• $X = 8$, $Y = 4$
• $X = 9$, $Y = 3$

Bu durumda $X - Y$ farkı -6, -4, -2, 2, 4, 6 olabilir.

• 6. Adım: $X - Y$ Farkının Alabileceği Değerleri Birleştirelim

$X - Y$ farkının alabileceği değerler: -6, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 6. Toplamda 8 farklı değer vardır.

• 7. Adım: Hata Kontrolü

Bir hata yaptık. $X + Y = 12$ durumunda $X = 6, Y = 6$ olamaz çünkü $X$ ve $Y$ farklı olmalı. Ancak, $X + Y = 1$ durumunda $X$ ve $Y$ farklı olmalı şartını sağladık. $X + Y = 12$ durumunda da tüm durumları doğru listeledik.

Şimdi $X - Y$ değerlerini tekrar gözden geçirelim: -6, -4, -2, 2, 4, 6, 1, -1. Toplam 8 değer.

Ancak soruda $X-Y$ farkının alabileceği kaç farklı değer vardır diye soruluyor. Biz hem pozitif hem negatif değerleri bulduk. Farklı değerleri sayalım: -6, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 6. Bunların hepsi birbirinden farklı. Toplamda 7 farklı değer var.

Cevap C seçeneğidir.