Bu soruda, özel görelilik teorisindeki enerji kavramlarını kullanarak bir parçacığın bağıl enerjisi ile durgun enerjisi arasındaki ilişkiyi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Temel Enerji Formüllerini Hatırlayalım:
- Bir parçacığın durgun haldeki enerjisi (durgun enerji) $E_0$, kütlesi $m$ ve ışık hızı $c$ ile şu şekilde ifade edilir: $E_0 = mc^2$.
- Parçacık $v$ hızıyla hareket ederken sahip olduğu toplam enerjiye bağıl enerji $E$ denir ve şu formülle hesaplanır: $E = \gamma mc^2$. Burada $\gamma$ (gama) Lorentz faktörüdür.
- 2. Lorentz Faktörünü ($\gamma$) Tanımlayalım:
- Lorentz faktörü, hızın ışık hızına yaklaştıkça görelilik etkilerinin ne kadar belirginleştiğini gösteren bir katsayıdır. Formülü şöyledir: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
- 3. Verilen Hız Değerini Kullanarak $\frac{v^2}{c^2}$ Oranını Hesaplayalım:
- Soruda parçacığın hızı $v = 0.8c$ olarak verilmiştir.
- Bu durumda, $\frac{v}{c} = 0.8$ olur.
- Karesini alırsak: $\frac{v^2}{c^2} = (0.8)^2 = 0.64$.
- 4. Lorentz Faktörünü ($\gamma$) Hesaplayalım:
- Şimdi $\frac{v^2}{c^2}$ değerini Lorentz faktörü formülüne yerleştirelim:
- $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}}$
- $\gamma = \frac{1}{\sqrt{0.36}}$
- $\gamma = \frac{1}{0.6}$
- $\gamma = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
- 5. Bağıl Enerji ile Durgun Enerji Arasındaki Oranı Bulalım:
- Bağıl enerji formülü $E = \gamma mc^2$ idi.
- Durgun enerji formülü $E_0 = mc^2$ idi.
- Bu iki formülü birleştirirsek: $E = \gamma E_0$.
- Bize sorulan oran $\frac{E}{E_0}$'dır.
- $\frac{E}{E_0} = \gamma$
- Daha önce $\gamma = \frac{5}{3}$ olarak hesaplamıştık.
- Yani, $\frac{E}{E_0} = \frac{5}{3} \approx 1.666...$
- 6. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:
- Hesapladığımız oran yaklaşık $1.67$'dir. Bu değer B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
