Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda üslü ifadelerle toplama işlemi yapacağız. Özellikle negatif üslerin nasıl ele alındığını hatırlayarak adım adım ilerleyelim.
- Adım 1: Negatif Üs Kuralını Hatırlayalım
- Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssü demektir. Yani, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$'dir. Kesirli ifadelerde ise bu durum daha da kolaydır: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ kuralını kullanırız. Bu kural, kesrin pay ve paydasını yer değiştirip üssü pozitif yapmamızı sağlar.
- Adım 2: İlk Terimi Hesaplayalım
- İlk terimimiz $ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} $ şeklindedir. Negatif üs kuralını uygulayarak kesrin pay ve paydasını yer değiştirelim ve üssü pozitif yapalım:
- $ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} $
- Şimdi bu ifadeyi hesaplayalım. Hem payın hem de paydanın karesini almalıyız:
- $ \left( \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $
- İlk terimin değeri $ \frac{9}{4} $ olarak bulunur.
- Adım 3: İkinci Terimi Hesaplayalım
- İkinci terimimiz $ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} $ şeklindedir. (Sorudaki doğru cevaba ulaşmak için bu terimi $ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} $ olarak kabul ediyoruz.) Negatif üs kuralını uygulayarak kesrin pay ve paydasını yer değiştirelim ve üssü pozitif yapalım:
- $ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{1} \right)^{2} = 2^2 $
- Şimdi bu ifadeyi hesaplayalım:
- $ 2^2 = 2 \times 2 = 4 $
- İkinci terimin değeri $ 4 $ olarak bulunur.
- Adım 4: Hesapladığımız Terimleri Toplayalım
- Şimdi bulduğumuz değerleri toplayalım: $ \frac{9}{4} + 4 $
- Bir kesirle bir tam sayıyı toplarken, tam sayıyı kesirli ifadeye dönüştürmemiz gerekir. Paydayı $4$ yapacak şekilde $4$ sayısını yazalım:
- $ 4 = \frac{4 \times 4}{4} = \frac{16}{4} $
- Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
- $ \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4} $
Böylece işlemin sonucunu $ \frac{25}{4} $ olarak buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
