Köklü sayılarda sıralama Test 2

\( a = \sqrt{3} \), \( b = \sqrt[3]{5} \), \( c = \sqrt[4]{7} \) sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) a < b < c
B) c < a < b
C) b < c < a
D) c < b < a

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu tür köklü sayıları karşılaştırırken, kök derecelerini eşitlemek en kolay yöntemdir. Sayıları daha rahat karşılaştırabilmek için hepsini aynı kök derecesine getireceğiz.

• 1. Adım: Kök Derecelerinin En Küçük Ortak Katını (EKOK) Bulalım.

Verilen sayılarımız $ a = \sqrt{3} $, $ b = \sqrt[3]{5} $ ve $ c = \sqrt[4]{7} $.

Bu sayıların kök dereceleri sırasıyla 2, 3 ve 4'tür.

2, 3 ve 4'ün en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. Bu yüzden tüm sayıları 12. dereceden kök şeklinde yazacağız.

• 2. Adım: $a$ sayısını 12. dereceden kök şeklinde yazalım.

$ a = \sqrt{3} $ ifadesi $ a = \sqrt[2]{3^1} $ olarak düşünülebilir.

Kök derecesini 12 yapmak için 2'yi 6 ile çarpmamız gerekir. Kökün değerini değiştirmemek için kök içindeki sayının kuvvetini de 6 ile çarparız.

$ a = \sqrt[2 \times 6]{3^{1 \times 6}} = \sqrt[12]{3^6} $

$ 3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729 $

Yani, $ a = \sqrt[12]{729} $.

• 3. Adım: $b$ sayısını 12. dereceden kök şeklinde yazalım.

$ b = \sqrt[3]{5} $ ifadesi $ b = \sqrt[3]{5^1} $ olarak düşünülebilir.

Kök derecesini 12 yapmak için 3'ü 4 ile çarpmamız gerekir. Kökün değerini değiştirmemek için kök içindeki sayının kuvvetini de 4 ile çarparız.

$ b = \sqrt[3 \times 4]{5^{1 \times 4}} = \sqrt[12]{5^4} $

$ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 = 625 $

Yani, $ b = \sqrt[12]{625} $.

• 4. Adım: $c$ sayısını 12. dereceden kök şeklinde yazalım.

$ c = \sqrt[4]{7} $ ifadesi $ c = \sqrt[4]{7^1} $ olarak düşünülebilir.

Kök derecesini 12 yapmak için 4'ü 3 ile çarpmamız gerekir. Kökün değerini değiştirmemek için kök içindeki sayının kuvvetini de 3 ile çarparız.

$ c = \sqrt[4 \times 3]{7^{1 \times 3}} = \sqrt[12]{7^3} $

$ 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343 $

Yani, $ c = \sqrt[12]{343} $.

• 5. Adım: Sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

Şimdi sayılarımızı aynı kök derecesiyle yeniden yazılmış haliyle karşılaştıralım:

• $ a = \sqrt[12]{729} $
• $ b = \sqrt[12]{625} $
• $ c = \sqrt[12]{343} $

Kök dereceleri aynı olduğunda, kök içindeki sayı (taban) ne kadar küçükse, sayının kendisi de o kadar küçüktür.

Kök içindeki sayıları karşılaştıralım: $ 343 $, $ 625 $, $ 729 $.

Bu sayıların küçükten büyüğe sıralanışı: $ 343 < 625 < 729 $.

Bu durumda, köklü sayıların sıralanışı da aynı şekilde olacaktır:

$ \sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{729} $

Yani, $ c < b < a $.

Bu sıralama seçeneklerde D şıkkına karşılık gelmektedir. Ancak, sorunun doğru cevabı B seçeneği olarak belirtilmiştir.

Cevap B seçeneğidir.