KPSS Fonksiyonlar konu anlatımı Test 2

f: A → B, f(x) = 3x - 5 fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A ve B kümeleri olabilir?

A) A = {1,2,3}, B = {2,4,6}
B) A = {0,1,2}, B = {-5,-2,1}
C) A = {1,2,3}, B = {-2,1,4}
D) A = {2,3,4}, B = {1,4,7}
E) A = {0,2,4}, B = {-5,1,7}

Bu soruyu çözmek için, bir fonksiyonun birebir ve örten olmasının ne anlama geldiğini hatırlamamız gerekiyor.

• Fonksiyonun Birebir Olması (One-to-one):

  Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonunun birebir olması için, $A$ kümesindeki farklı her $x_1, x_2$ elemanı için $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Yani, $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır.

  Verilen fonksiyon $f(x) = 3x - 5$ bir doğrusal fonksiyondur ($y = mx + c$ formunda, burada eğim $m=3 \neq 0$). Doğrusal fonksiyonlar, eğimleri sıfır olmadığı sürece her zaman birebirdir. Bu nedenle, $f(x) = 3x - 5$ fonksiyonu zaten birebirdir. Bu koşul tüm seçenekler için sağlanır.

• Fonksiyonun Örten Olması (Onto):

  Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonunun örten olması için, $B$ kümesindeki her $y$ elemanı için $A$ kümesinde en az bir $x$ elemanı olmalıdır öyle ki $f(x) = y$.

  Bu durum, fonksiyonun görüntü kümesi ($f(A)$) ile değer kümesinin ($B$) birbirine eşit olması gerektiği anlamına gelir: $f(A) = B$.

• Seçenekleri İnceleme:

  Şimdi, verilen seçeneklerden hangisinin bu örtenlik koşulunu sağladığını kontrol etmemiz gerekiyor. Yani, her seçenek için $A$ kümesinin elemanlarını fonksiyonda yerine koyarak $f(A)$ kümesini bulup, bu kümenin $B$ kümesine eşit olup olmadığını kontrol edeceğiz.

• C Seçeneğini Kontrol Edelim:

  C seçeneğinde $A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{-2, 1, 4\}$ olarak verilmiştir.

  $A$ kümesinin elemanlarını $f(x) = 3x - 5$ fonksiyonunda yerine koyarak $f(A)$ kümesini bulalım:

  • $x = 1$ için: $f(1) = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2$
  • $x = 2$ için: $f(2) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$
  • $x = 3$ için: $f(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$

  Buna göre, $f(A)$ kümesi $\{-2, 1, 4\}$ olur.

  C seçeneğinde verilen $B$ kümesi de $B = \{-2, 1, 4\}$'tür.

  Görüldüğü gibi, $f(A) = B$ koşulu sağlanmaktadır. Bu da fonksiyonun örten olduğu anlamına gelir.

  Fonksiyon zaten birebir olduğu için, C seçeneğindeki $A$ ve $B$ kümeleri verilen koşulları sağlamaktadır.

Cevap C seçeneğidir.