A = {1,2,3,4} kümesinden B = {a,b,c,d,e} kümesine tanımlı birebir fonksiyon sayısı kaçtır?
A) 24$A = \{1,2,3,4\}$ kümesinden $B = \{a,b,c,d,e\}$ kümesine tanımlı birebir fonksiyon sayısını bulmak için adım adım ilerleyelim:
Öncelikle verilen kümeleri ve eleman sayılarını (kardinalitelerini) netleştirelim:
Tanım kümesi (başlangıç kümesi) $A = \{1,2,3,4\}$'tür. Bu kümenin eleman sayısı $|A| = 4$'tür.
Değer kümesi (varış kümesi) $B = \{a,b,c,d,e\}$'dir. Bu kümenin eleman sayısı $|B| = 5$'tir.
Birebir fonksiyon demek, tanım kümesindeki her farklı elemanın, değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi demektir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Bu, değer kümesindeki bir elemanın tanım kümesindeki birden fazla elemanın görüntüsü olamayacağı anlamına gelir. Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı, değer kümesinin eleman sayısından fazla olmamalıdır ($|A| \le |B|$). Bizim durumumuzda $4 \le 5$ olduğu için birebir fonksiyonlar tanımlanabilir.
$A$ kümesindeki elemanları sırasıyla $B$ kümesindeki elemanlarla eşleştireceğiz ve her adımda birebir olma koşulunu göz önünde bulunduracağız:
$A$ kümesinin ilk elemanı (1 için): $1$ sayısını $B$ kümesindeki 5 elemandan herhangi biriyle eşleştirebiliriz. Yani, $f(1)$ için 5 farklı seçeneğimiz vardır.
$A$ kümesinin ikinci elemanı (2 için): Fonksiyonun birebir olması gerektiği için, $2$ sayısını $f(1)$ ile eşleştirdiğimiz eleman dışında kalan elemanlardan biriyle eşleştirmeliyiz. $B$ kümesinde 1 eleman kullanıldığı için geriye $5 - 1 = 4$ eleman kalır. Yani, $f(2)$ için 4 farklı seçeneğimiz vardır.
$A$ kümesinin üçüncü elemanı (3 için): Benzer şekilde, $3$ sayısını $f(1)$ ve $f(2)$ ile eşleştirdiğimiz elemanlar dışında kalan elemanlardan biriyle eşleştirmeliyiz. $B$ kümesinde 2 eleman kullanıldığı için geriye $5 - 2 = 3$ eleman kalır. Yani, $f(3)$ için 3 farklı seçeneğimiz vardır.
$A$ kümesinin dördüncü elemanı (4 için): Son olarak, $4$ sayısını $f(1)$, $f(2)$ ve $f(3)$ ile eşleştirdiğimiz elemanlar dışında kalan elemanlardan biriyle eşleştirmeliyiz. $B$ kümesinde 3 eleman kullanıldığı için geriye $5 - 3 = 2$ eleman kalır. Yani, $f(4)$ için 2 farklı seçeneğimiz vardır.
Toplam birebir fonksiyon sayısını bulmak için her bir eleman için sahip olduğumuz seçenekleri çarparız:
Toplam birebir fonksiyon sayısı $= 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
Bu hesaplama, aynı zamanda $P(n, k)$ permütasyon formülüyle de ifade edilebilir. Burada $n$ değer kümesinin eleman sayısı ($|B| = 5$) ve $k$ tanım kümesinin eleman sayısıdır ($|A| = 4$).
$P(5,4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Bu durumda, $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı birebir fonksiyon sayısı 120'dir.
Cevap C seçeneğidir.
