Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematik öğrenmek sabır ve pratik gerektirir. Başarılar!
Sorumuz: $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak.
- Adım 1: Tanım Kümesi Nedir? Bir fonksiyonun tanım kümesi, o fonksiyona verebileceğimiz tüm girdi (x) değerlerinin kümesidir. Yani, fonksiyonun "çalıştığı" tüm x değerleri.
- Adım 2: Karekökün İçindeki İfade Karekök içindeki ifadenin (yani $4-x^2$'nin) negatif olmaması gerekir. Çünkü reel sayılarda karekökün içi negatif olamaz. Bu yüzden $4-x^2 \ge 0$ olmalıdır.
- Adım 3: Eşitsizliği Çözelim $4-x^2 \ge 0$ eşitsizliğini çözelim. Bu eşitsizliği çözmek için birkaç yöntem var. En basitlerinden biri, ifadeyi çarpanlarına ayırmak:
$4-x^2 = (2-x)(2+x) \ge 0$
- Adım 4: Kritik Noktaları Bulalım Eşitsizliğin kritik noktaları, yani ifadenin sıfır olduğu noktalar $x = 2$ ve $x = -2$'dir.
- Adım 5: İşaret Tablosu Oluşturalım (İsteğe Bağlı) İşaret tablosu oluşturarak hangi aralıklarda ifadenin pozitif veya negatif olduğunu görebiliriz. Ancak bu soruda buna gerek yok, mantıken de çözebiliriz.
- Adım 6: Aralığı Belirleyelim $x$'in hangi değerleri için $(2-x)(2+x) \ge 0$ olur?
- $x < -2$ ise, $(2-x)$ pozitif ve $(2+x)$ negatif olur. Çarpımları negatif olur.
- $x = -2$ ise, $(2-x)$ pozitif ve $(2+x)$ sıfır olur. Çarpımları sıfır olur.
- $-2 < x < 2$ ise, $(2-x)$ pozitif ve $(2+x)$ pozitif olur. Çarpımları pozitif olur.
- $x = 2$ ise, $(2-x)$ sıfır ve $(2+x)$ pozitif olur. Çarpımları sıfır olur.
- $x > 2$ ise, $(2-x)$ negatif ve $(2+x)$ pozitif olur. Çarpımları negatif olur.
Dolayısıyla, eşitsizliğin sağlandığı aralık $-2 \le x \le 2$'dir.
- Adım 7: Tanım Kümesini Yazalım Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi $[-2, 2]$ aralığıdır.
Cevap A seçeneğidir.
