İntegralde hacim hesabı Test 2

f(x) = √x eğrisi, x = 0, x = 4 ve y = 0 doğruları arasında kalan bölgenin y-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

A) 64π/5
B) 128π/5
C) 32π/3
D) 16π/3

Bu soruda, belirli bir eğri ve doğrular arasında kalan bölgenin y-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplamamız isteniyor. Bu tür hacim hesaplamalarında genellikle Disk/Pul (Washer) metodu veya Silindirik Kabuk (Cylindrical Shell) metodu kullanılır. Sorudaki fonksiyon $y = \sqrt{x}$ şeklinde $x$'e bağlı verildiği ve döndürme ekseni y-ekseni olduğu için, Silindirik Kabuk metodu bu durumda daha pratik olacaktır.

• 1. Bölgeyi ve Dönme Ekseni Belirleme:

  Verilen eğri $f(x) = \sqrt{x}$'tir. Bölge $x = 0$, $x = 4$ ve $y = 0$ doğruları ile sınırlıdır. Dönme ekseni ise y-eksenidir.

• 2. Silindirik Kabuk Metodunu Seçme:

  Y-ekseni etrafında dönme ve $y = f(x)$ şeklinde bir fonksiyonumuz olduğu için, Silindirik Kabuk metodu ile $x$'e göre integral almak daha kolaydır. Bir silindirik kabuğun hacmi $dV = 2\pi \cdot \text{yarıçap} \cdot \text{yükseklik} \cdot dx$ formülü ile verilir.

• 3. Yarıçap ve Yüksekliği Belirleme:
  • Yarıçap ($r(x)$): Y-ekseninden $x$ koordinatına olan uzaklık, yani $x$'in kendisidir. Dolayısıyla, $r(x) = x$.
  • Yükseklik ($h(x)$): Bölgenin üst sınırı $y = \sqrt{x}$ ve alt sınırı $y = 0$ olduğundan, yüksekliği $h(x) = \sqrt{x} - 0 = \sqrt{x}$ olur.
• 4. İntegral Sınırlarını Belirleme:

  Bölge $x = 0$'dan $x = 4$'e kadar uzandığı için, integral sınırları $a = 0$ ve $b = 4$ olacaktır.

• 5. Hacim İntegralini Kurma:

  Silindirik Kabuk metodu için hacim formülü $V = 2\pi \int_{a}^{b} r(x) h(x) dx$ şeklindedir. Değerleri yerine koyarsak:

  $V = 2\pi \int_{0}^{4} x \cdot \sqrt{x} dx$

• 6. İntegrali Hesaplama:

  Öncelikle $x \cdot \sqrt{x}$ ifadesini düzenleyelim:

  $x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$

  Şimdi integrali hesaplayalım:

  $V = 2\pi \int_{0}^{4} x^{3/2} dx$

  İntegral kuralı $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$'i kullanarak:

  $V = 2\pi \left[ \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} \right]_{0}^{4}$

  $V = 2\pi \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{4}$

  $V = 2\pi \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{4}$

  Şimdi sınırları yerine koyalım:

  $V = 2\pi \left( \frac{2}{5} (4)^{5/2} - \frac{2}{5} (0)^{5/2} \right)$

  $V = 2\pi \left( \frac{2}{5} (\sqrt{4})^5 - 0 \right)$

  $V = 2\pi \left( \frac{2}{5} (2)^5 \right)$

  $V = 2\pi \left( \frac{2}{5} \cdot 32 \right)$

  $V = 2\pi \left( \frac{64}{5} \right)$

  $V = \frac{128\pi}{5}$

Böylece, oluşan cismin hacmi $\frac{128\pi}{5}$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.