Uzunluk kısalması (Uzunluğun göreceliği) Test 2

Uzunluğu 40 metre olan bir roket, 0.95c hızıyla hareket ediyor. Roketin hareket doğrultusundaki boyu, dünyadaki bir gözlemci tarafından yaklaşık kaç metre olarak ölçülür?

A) 12.48
B) 15.62
C) 18.75
D) 21.88

Bu soruda, özel görelilik teorisinin önemli sonuçlarından biri olan boy kısalması (uzunluk büzülmesi) kavramını kullanacağız. Bir cisim ışık hızına yakın hızlarda hareket ettiğinde, hareket doğrultusundaki boyu, durgun bir gözlemci tarafından daha kısa ölçülür. Bu olaya boy kısalması denir.

• Verilen Bilgiler: Roketin durgun haldeki (kendi referans sistemindeki) uzunluğu (öz uzunluk) $L_0 = 40 \text{ metre}$ ve roketin hızı $v = 0.95c$ (ışık hızının %95'i).
• Kullanılacak Formül: Boy kısalması formülü aşağıdaki gibidir:

  $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  Burada:

  • $L$: Hareket eden roketin dünyadaki gözlemci tarafından ölçülen boyu (aradığımız değer).
  • $L_0$: Roketin kendi referans sistemindeki (durgun haldeki) öz uzunluğu.
  • $v$: Roketin hızı.
  • $c$: Işık hızı.
• Hesaplamalar:

  Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

  $L = 40 \text{ m} \times \sqrt{1 - \frac{(0.95c)^2}{c^2}}$

  Önce karekök içindeki ifadeyi basitleştirelim:

  $L = 40 \times \sqrt{1 - \frac{0.95^2 c^2}{c^2}}$

  $c^2$ terimleri birbirini götürür:

  $L = 40 \times \sqrt{1 - 0.95^2}$

  $0.95^2$ değerini hesaplayalım:

  $0.95 \times 0.95 = 0.9025$

  Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım:

  $L = 40 \times \sqrt{1 - 0.9025}$

  Karekök içindeki çıkarma işlemini yapalım:

  $L = 40 \times \sqrt{0.0975}$

  Şimdi $\sqrt{0.0975}$ değerini hesaplayalım:

  $\sqrt{0.0975} \approx 0.312249899...$

  Bu değeri 40 ile çarpalım:

  $L \approx 40 \times 0.312249899$

  $L \approx 12.4899959... \text{ metre}$

• Sonuç:

  Dünyadaki bir gözlemci tarafından roketin boyu yaklaşık olarak $12.49 \text{ metre}$ olarak ölçülür. Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan A seçeneğidir ($12.48 \text{ metre}$).

Cevap A seçeneğidir.