Sonlu toplam formülleri Test 2

Bir geometrik dizide ilk terim 2, ortak çarpan 3'tür. Bu dizinin ilk 5 terim toplamı kaçtır?

A) 242
B) 244
C) 246
D) 248

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir geometrik dizinin ilk 5 teriminin toplamını bulmamız isteniyor. Geometrik dizilerde terimler ve toplam formülleri belirli kurallara göre ilerler. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Geometrik Dizi Nedir ve Verilenler Nelerdir?

  Bir geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin sabit bir sayı (ortak çarpan) ile çarpılmasıyla elde edildiği bir sayı dizisidir. Soruda bize verilenler şunlardır:

  İlk terim ($a_1$) = $2$

  Ortak çarpan ($r$) = $3$

  İstenen terim sayısı ($n$) = $5$ (ilk 5 terimin toplamı)

• 2. Geometrik Dizinin İlk 5 Terimini Tek Tek Bulma (Alternatif Yöntem):

  Eğer toplam formülünü hatırlamıyorsak veya doğrulamak istersek, ilk 5 terimi tek tek bulup toplayabiliriz. Bir geometrik dizide $n$. terim $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ formülüyle bulunur.

  $a_1 = 2$

  $a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6$

  $a_3 = a_2 \cdot r = 6 \cdot 3 = 18$

  $a_4 = a_3 \cdot r = 18 \cdot 3 = 54$

  $a_5 = a_4 \cdot r = 54 \cdot 3 = 162$

  Şimdi bu terimleri toplayalım:

  $S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162$

  $S_5 = 8 + 18 + 54 + 162$

  $S_5 = 26 + 54 + 162$

  $S_5 = 80 + 162$

  $S_5 = 242$

• 3. Geometrik Dizi Toplam Formülünü Kullanma (Daha Hızlı Yöntem):

  Geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı ($S_n$) için genel bir formül bulunmaktadır. Bu formül, ortak çarpan $r \neq 1$ olduğunda şu şekildedir:

  $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$

  Şimdi verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:

  $a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 5$

  $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1}$

  Önce üslü ifadeyi hesaplayalım:

  $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$

  Şimdi formülde yerine koyalım:

  $S_5 = 2 \cdot \frac{243 - 1}{3 - 1}$

  $S_5 = 2 \cdot \frac{242}{2}$

  Paydadaki $2$ ile dışarıdaki $2$ sadeleşir:

  $S_5 = 242$

• 4. Sonuç:

  Her iki yöntemle de geometrik dizinin ilk 5 teriminin toplamını $242$ olarak bulduk. Bu da doğru cevabın A seçeneği olduğunu gösterir.

Cevap A seçeneğidir.