9. Sınıf Öklid Teoremi Nedir? Test 1

Bir dik üçgende hipotenüse çizilen yükseklik, hipotenüsü 3 cm ve 12 cm'lik parçalara ayırmaktadır. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 27
B) 36
C) 45
D) 54

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek dik üçgenlerdeki önemli bir özelliği ve alan hesaplamayı pekiştirelim.

• 1. Adım: Soruyu Anlama ve Görselleştirme

Bir dik üçgenimiz var. Bu üçgenin dik köşesinden hipotenüse bir yükseklik çizilmiş. Bu yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırıyor: 3 cm ve 12 cm. Bizden bu üçgenin alanını bulmamız isteniyor.

Bir dik üçgen çizin ve dik köşeden hipotenüse inen yüksekliği (h) gösterin. Hipotenüs üzerindeki parçaları $p = 3$ cm ve $k = 12$ cm olarak işaretleyin.

• 2. Adım: Hipotenüsün Uzunluğunu Bulma

Hipotenüs, yüksekliğin ayırdığı iki parçanın toplamıdır. Yani:

Hipotenüs uzunluğu $= p + k = 3 \text{ cm} + 12 \text{ cm} = 15 \text{ cm}$.

• 3. Adım: Yüksekliği (h) Bulma - Öklid Bağıntısı

Dik üçgenlerde, dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulmak için Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanırız. Bu bağıntı der ki: "Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir."

Matematiksel olarak ifade edersek: $h^2 = p \cdot k$

Verilen değerleri yerine yazalım:

• $h^2 = 3 \cdot 12$
• $h^2 = 36$
• $h = \sqrt{36}$
• $h = 6 \text{ cm}$

Yani, hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu $6$ cm'dir.

• 4. Adım: Üçgenin Alanını Hesaplama

Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Bu üçgende, hipotenüsü taban olarak alabiliriz ve az önce bulduğumuz yüksekliği de o tabana ait yükseklik olarak kullanabiliriz.

Alan Formülü: $Alan = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$

Değerleri yerine yazalım:

• Taban (hipotenüs) $= 15 \text{ cm}$
• Yükseklik $= 6 \text{ cm}$
• $Alan = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6$
• $Alan = 15 \cdot 3$
• $Alan = 45 \text{ cm}^2$

Bu üçgenin alanı $45 \text{ cm}^2$'dir.

Cevap C seçeneğidir.