8. \( \sqrt{200} + \sqrt{128} - \sqrt{162} \) işleminin sonucu kaçtır?
A) \( 9\sqrt{2} \)Sevgili öğrenciler, köklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yaparken temel amacımız, kök içindeki sayıları en sade hallerine getirerek kök içlerinin aynı olmasını sağlamaktır. Eğer kök içleri aynı olursa, bu ifadelerin katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz. Şimdi adımları takip ederek bu işlemi yapalım:
Bir köklü ifadeyi sadeleştirmek için, kök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanını buluruz ve bu tam kareyi kök dışına çıkarırız.
$ \sqrt{200} $ ifadesini sadeleştirelim:
$200$ sayısının en büyük tam kare çarpanı $100$'dür ($10^2 = 100$).
O halde, $ 200 = 100 \times 2 $ şeklinde yazabiliriz.
Böylece, $ \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} $ olur.
$ \sqrt{162} $ ifadesini sadeleştirelim:
$162$ sayısının en büyük tam kare çarpanı $81$'dir ($9^2 = 81$).
O halde, $ 162 = 81 \times 2 $ şeklinde yazabiliriz.
Böylece, $ \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} = 9\sqrt{2} $ olur.
$ \sqrt{128} $ ifadesini sadeleştirelim:
$128$ sayısının en büyük tam kare çarpanı $64$'tür ($8^2 = 64$).
O halde, $ 128 = 64 \times 2 $ şeklinde yazabiliriz.
Böylece, $ \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2} $ olur.
Şimdi orijinal işlemdeki köklü ifadelerin yerine sadeleştirilmiş hallerini yazalım:
$ \sqrt{200} + \sqrt{162} - \sqrt{128} $
$ 10\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 8\sqrt{2} $
Gördüğümüz gibi, tüm terimlerin kök içi $ \sqrt{2} $ oldu. Bu, işlemi yapabilmemiz için harika bir durum!
Artık kök içleri aynı olduğu için, katsayıları parantez içine alarak toplama ve çıkarma işlemini yapabiliriz:
$ (10 + 9 - 8)\sqrt{2} $
Önce toplama işlemini yapalım: $ 10 + 9 = 19 $.
Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $ 19 - 8 = 11 $.
Sonuç olarak, $ 11\sqrt{2} $ elde ederiz.
Cevap C seçeneğidir.
