Aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülü (Sn) Test 1

🎓 Aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülü (Sn) Test 1 - Ders Notu

Bu ders notu, aritmetik dizilerin temel kavramlarını, genel terimini ve özellikle ilk $n$ terim toplamı ($S_n$) formüllerini ve bu formüllerin uygulamalarını anlamanıza yardımcı olmak için hazırlanmıştır. Testteki soruları çözerken bu bilgilere başvurabilirsin.

📌 Aritmetik Dizi Nedir?

Bir aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Yani, her terim kendinden önceki terime sabit bir sayı eklenerek elde edilir.

• Bu sabit farka "ortak fark" denir ve genellikle $d$ ile gösterilir.
• Dizinin ilk terimi genellikle $a_1$ ile gösterilir.

📝 Örnek: $3, 7, 11, 15, ...$ dizisi bir aritmetik dizidir. İlk terimi $a_1 = 3$ ve ortak farkı $d = 4$'tür.

📌 Aritmetik Dizinin Genel Terimi ($a_n$)

Bir aritmetik dizinin herhangi bir terimini bulmak için kullanılan formüldür. Bu formül, dizinin ilk terimi ve ortak farkı bilindiğinde çok işe yarar.

• Genel terim formülü: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• Burada $a_n$, dizinin $n$. terimini; $a_1$, ilk terimini; $n$, terim sayısını ve $d$, ortak farkı temsil eder.

💡 İpucu: Bu formül, dizinin herhangi bir terimini (örneğin $a_5$) bulmak için de kullanılabilir: $a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$.

📌 Aritmetik Dizinin Ortak Farkı ($d$)

Ortak fark, bir aritmetik dizideki ardışık iki terim arasındaki sabit farktır. Dizinin "ritmini" belirler.

• Ortak farkı bulmak için herhangi bir terimden bir önceki terimi çıkarabilirsin: $d = a_n - a_{n-1}$.
• Örneğin, $d = a_2 - a_1$ veya $d = a_5 - a_4$.

📝 Örnek: $2, 5, 8, 11, ...$ dizisinde $d = 5 - 2 = 3$ veya $d = 8 - 5 = 3$'tür.

📌 Aritmetik Dizinin İlk n Terim Toplamı ($S_n$)

Bir aritmetik dizinin ilk $n$ teriminin toplamını bulmak için iki temel formül kullanılır. Bu formüller, özellikle çok sayıda terimi toplaman gerektiğinde hayat kurtarıcıdır.

• Formül 1: İlk terim ($a_1$) ve son terim ($a_n$) biliniyorsa: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
• Formül 2: İlk terim ($a_1$) ve ortak fark ($d$) biliniyorsa: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

⚠️ Dikkat: Hangi formülü kullanacağınıza, soruda verilen bilgilere göre karar verin. Eğer son terim $a_n$ verilmişse ilk formül daha pratik olabilir. Eğer sadece $a_1$ ve $d$ verilmişse ikinci formül doğrudan kullanılabilir.

📝 Örnek: Bir aritmetik dizinin ilk terimi $a_1 = 2$, ortak farkı $d = 3$ olsun. İlk 4 teriminin toplamını bulalım ($n=4$).

• Önce $a_4$ terimini bulalım: $a_4 = a_1 + (4-1)d = 2 + 3 \times 3 = 2 + 9 = 11$.
• Şimdi Formül 1'i kullanalım: $S_4 = \frac{4}{2}(a_1 + a_4) = 2(2 + 11) = 2 \times 13 = 26$.
• Veya doğrudan Formül 2'yi kullanalım: $S_4 = \frac{4}{2}(2a_1 + (4-1)d) = 2(2 \times 2 + 3 \times 3) = 2(4 + 9) = 2 \times 13 = 26$.

📌 Toplam Formülleriyle İlgili Önemli İlişkiler

Bazen dizinin $n$. terimini, ilk $n$ teriminin toplamı cinsinden bulmak gerekebilir. Bu tür sorular için aşağıdaki ilişkiyi bilmek önemlidir.

• Bir dizinin $n$. terimi ($a_n$), ilk $n$ teriminin toplamından ($S_n$) ilk $(n-1)$ teriminin toplamı ($S_{n-1}$) çıkarılarak bulunabilir: $a_n = S_n - S_{n-1}$.

💡 İpucu: Bu ilişki, özellikle $S_n$ formülü verildiğinde belirli bir terimi ($a_n$) bulmak için çok kullanışlıdır. Örneğin, $a_5 = S_5 - S_4$.