Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür karışım problemlerini çözerken adım adım ilerlemek ve her adımı dikkatlice anlamak çok önemlidir. Şimdi sorumuzu birlikte çözelim:
- Adım 1: Başlangıç Durumunu Anlayalım ve Değişken Tanımlayalım
- Başlangıçtaki karışımın toplam miktarını bilmediğimiz için bu miktara bir isim verelim. Diyelim ki, başlangıçtaki karışım miktarı $K$ litredir.
- Soruda başlangıçtaki alkol oranının %40 olduğu belirtiliyor. Bu durumda, $K$ litrelik karışımın %40'ı alkoldür.
- Başlangıçtaki alkol miktarı: $K \times 0.40$ litre.
- Karışımın geri kalanı ($100\% - 40\% = 60\%$) başka bir maddedir (örneğin su). Bu diğer maddenin miktarı: $K \times 0.60$ litre.
- Adım 2: Karışıma Saf Alkol Eklenmesiyle Meydana Gelen Değişiklikleri Belirleyelim
- Karışıma 10 litre saf alkol ekleniyor. "Saf alkol" demek, eklenen 10 litrenin tamamının alkol olduğu anlamına gelir.
- Bu durumda, toplam karışım miktarı artar: Yeni toplam karışım miktarı $K + 10$ litre olur.
- Alkol miktarı da artar: Başlangıçtaki alkol miktarına eklenen 10 litre saf alkolü ekleriz. Yeni alkol miktarı $(K \times 0.40) + 10$ litre olur.
- Diğer madde (su) miktarı ise değişmez, çünkü sadece alkol ekledik. Diğer madde miktarı $K \times 0.60$ litre olarak kalır.
- Adım 3: Yeni Alkol Oranını Kullanarak Denklem Kuralım
- 10 litre saf alkol eklendikten sonra alkol oranı %50 oluyor.
- Alkol oranı, karışımdaki alkol miktarının toplam karışım miktarına oranıdır. Yani:
- $\frac{\text{Yeni Alkol Miktarı}}{\text{Yeni Toplam Karışım Miktarı}} = \text{Yeni Alkol Oranı}$
- Bu bilgileri kullanarak denklemimizi yazalım:
- $\frac{(K \times 0.40) + 10}{K + 10} = 0.50$ (Çünkü %50 demek 0.50 demektir.)
- Adım 4: Denklemi Çözerek Başlangıçtaki Karışım Miktarını Bulalım
- Denklemimizi çözmek için eşitliğin her iki tarafını $(K + 10)$ ile çarpalım:
- $(K \times 0.40) + 10 = 0.50 \times (K + 10)$
- Şimdi sağ taraftaki $0.50$'yi parantez içine dağıtalım:
- $0.40K + 10 = 0.50K + (0.50 \times 10)$
- $0.40K + 10 = 0.50K + 5$
- Şimdi $K$ içeren terimleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayalım. Küçük olan $0.40K$'yi $0.50K$'nin yanına (sağ tarafa) ve $5$'i $10$'un yanına (sol tarafa) gönderelim:
- $10 - 5 = 0.50K - 0.40K$
- $5 = 0.10K$
- $K$'yi bulmak için her iki tarafı $0.10$'a bölelim:
- $K = \frac{5}{0.10}$
- $K = 50$
- Demek ki, başlangıçtaki karışım miktarı 50 litredir.
- Adım 5: Sonucumuzu Kontrol Edelim
- Başlangıçta 50 litre karışım vardı. Alkol oranı %40 ise, $50 \times 0.40 = 20$ litre alkol var.
- Bu karışıma 10 litre saf alkol ekledik:
- Yeni toplam karışım miktarı: $50 + 10 = 60$ litre.
- Yeni alkol miktarı: $20 + 10 = 30$ litre.
- Yeni alkol oranı: $\frac{30 \text{ litre alkol}}{60 \text{ litre toplam karışım}} = \frac{1}{2} = 0.50 = \%50$.
- Gördüğümüz gibi, hesapladığımız değerler sorudaki bilgilerle uyuşuyor. Bu da cevabımızın doğru olduğunu gösterir!
Cevap C seçeneğidir.
