A(4,-2) ve B(-2,6) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını 3:4 oranında içten bölen C noktasının koordinatları nedir?
A) (1,1)
B) (2,0)
C) (0,2)
D) (1,2)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, koordinat düzleminde iki nokta arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Bu tür problemler, analitik geometrinin temel konularından biridir ve birçok farklı alanda karşımıza çıkabilir.
Soruda bize $A(4,-2)$ ve $B(-2,6)$ noktaları verilmiş ve [AB] doğru parçasını $3:4$ oranında içten bölen $C$ noktasının koordinatları soruluyor.
Bu tür bir problemi çözmek için özel bir formül kullanırız. Eğer bir $C(x_C, y_C)$ noktası, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki doğru parçasını $m:n$ oranında içten bölüyorsa (yani $AC:CB = m:n$), $C$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:
- $x_C = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
- $y_C = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$
Şimdi bu formülü kullanarak sorumuzdaki değerleri yerine koyalım:
-
1. Verilen Değerleri Belirleyelim:
- $A(x_1, y_1) = A(4, -2)$
- $B(x_2, y_2) = B(-2, 6)$
- Oran $3:4$ olduğu için $m=3$ ve $n=4$ alacağız. (Burada $m$, $B$ noktasına yakın olan oranı, $n$ ise $A$ noktasına yakın olan oranı temsil eder.)
-
2. $C$ noktasının $x$ koordinatını ($x_C$) Bulalım:
- Formül: $x_C = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
- Değerleri yerine koyalım: $x_C = \frac{4 \cdot (4) + 3 \cdot (-2)}{3+4}$
- Hesaplayalım: $x_C = \frac{16 - 6}{7} = \frac{10}{7}$
-
3. $C$ noktasının $y$ koordinatını ($y_C$) Bulalım:
- Formül: $y_C = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$
- Değerleri yerine koyalım: $y_C = \frac{4 \cdot (-2) + 3 \cdot (6)}{3+4}$
- Hesaplayalım: $y_C = \frac{-8 + 18}{7} = \frac{10}{7}$
-
4. $C$ Noktasının Koordinatlarını Yazalım:
- Bulduğumuz $x_C$ ve $y_C$ değerlerini birleştirirsek, $C$ noktasının koordinatları $C(\frac{10}{7}, \frac{10}{7})$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
