A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde β = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} bağıntısı veriliyor. Bu bağıntı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sadece yansıyan özelliği vardır
B) Sadece simetrik özelliği vardır
C) Hem yansıyan hem simetrik hem de ters simetriktir
D) Denklik bağıntısıdır
Hadi gel, bu kümeler ve bağıntılar konusunu eğlenceli bir şekilde çözelim!
🧪 Öncelikle, verilen bağıntıyı inceleyelim: $β = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)\}$ ve kümemiz $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
💡 Bir bağıntının yansıyan olabilmesi için, kümedeki her elemanın kendisiyle eşleşmesi gerekir. Yani, $A$ kümesindeki her $x$ için $(x, x)$ bağıntıda bulunmalıdır. $β$ bağıntısında $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ ve $(4,4)$ bulunduğundan, bu bağıntı yansıyandır. ✅
📐 Bir bağıntının simetrik olabilmesi için, eğer $(x, y)$ bağıntıda ise, $(y, x)$ de bağıntıda olmalıdır. $β$ bağıntısında $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ ve $(4,4)$ var. Bunların tersleri de kendileri olduğu için, bu bağıntı simetriktir. ✅
🧮 Bir bağıntının ters simetrik olabilmesi için, eğer $(x, y)$ ve $(y, x)$ bağıntıda ise, $x = y$ olmalıdır. $β$ bağıntısında sadece $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ ve $(4,4)$ gibi durumlar var. Yani $x = y$ koşulu sağlandığı için bu bağıntı ters simetriktir. ✅
⚠️ Bir bağıntının denklik bağıntısı olabilmesi için yansıyan, simetrik ve geçişli olması gerekir. $β$ bağıntısı yansıyan ve simetrik, ancak geçişlilik özelliğini de kontrol etmemiz gerekir. Geçişlilik, eğer $(x, y)$ ve $(y, z)$ bağıntıda ise, $(x, z)$ de bağıntıda olmalıdır demektir. Bu bağıntıda sadece $(x,x)$ formunda elemanlar olduğu için geçişlilik de sağlanır. Ancak sorudaki seçenekler arasında en doğru ve kapsayıcı olan C şıkkıdır.
