🤔 Yansıma Özelliği: Bir bağıntının yansıyan olabilmesi için, kümedeki her elemanın kendisiyle ilişkili olması gerekir. Yani, $(1,1)$, $(2,2)$ ve $(3,3)$ elemanlarının $\beta$ içinde bulunması gerekirdi. Ancak $\beta$ içinde bu elemanlar bulunmadığından, $\beta$ yansıyan değildir.
🔄 Simetri Özelliği: Bir bağıntının simetrik olabilmesi için, $(a,b)$ elemanı $\beta$ içindeyse, $(b,a)$ elemanının da $\beta$ içinde olması gerekir. $\beta$ içinde $(1,2)$ var, ancak $(2,1)$ yok. Benzer şekilde, $(2,3)$ var, ancak $(3,2)$ yok. Dolayısıyla $\beta$ simetrik değildir.
🔗 Geçişme Özelliği: Bir bağıntının geçişken olabilmesi için, $(a,b)$ ve $(b,c)$ elemanları $\beta$ içindeyse, $(a,c)$ elemanının da $\beta$ içinde olması gerekir. $\beta$ içinde $(1,2)$ ve $(2,3)$ var, bu durumda $(1,3)$'ün de $\beta$ içinde olması gerekirdi. $\beta$ içinde $(1,2)$ ve $(2,3)$ varken $(1,3)$'te olmalıydı. Kontrol edelim:
$(1, 2)$ ve $(2, 3)$ var, $(1, 3)$ olmalı. $\beta = \{(1,2), (2,3), (3,1)\}$ içinde $(1,3)$ YOK.
$(2, 3)$ ve $(3, 1)$ var, $(2, 1)$ olmalı. $\beta = \{(1,2), (2,3), (3,1)\}$ içinde $(2,1)$ YOK.
$(3, 1)$ ve $(1, 2)$ var, $(3, 2)$ olmalı. $\beta = \{(1,2), (2,3), (3,1)\}$ içinde $(3,2)$ YOK.
Ancak, $\beta$ içinde $(1,2)$ ve $(2,3)$ var ve $(1,3)$ elemanı $\beta$ içinde olmalı. Devam edelim: $\beta$ içinde $(2,3)$ ve $(3,1)$ var ve $(2,1)$ elemanı $\beta$ içinde olmalı. Son olarak $\beta$ içinde $(3,1)$ ve $(1,2)$ var ve $(3,2)$ elemanı $\beta$ içinde olmalı. Şimdi $\beta$ bağıntısı geçişkendir.
⚖️ Denklik Bağıntısı: Bir bağıntının denklik bağıntısı olabilmesi için, yansıyan, simetrik ve geçişken olması gerekir. $\beta$ yansıyan ve simetrik olmadığı için, denklik bağıntısı da değildir.
