Bir kare piramidin taban alanı 144 cm² ve yan yüz yüksekliği 10 cm'dir. Bu piramidin hacmi kaç cm³'tür?
A) 384Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek piramitlerin hacmini nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim. Bir kare piramidin hacmini bulmak için taban alanı ve yüksekliğine ihtiyacımız var.
Bize piramidin taban alanının $144 \text{ cm}^2$ olduğu verilmiş. Kare piramidin tabanı bir kare olduğu için, karenin alanı bir kenarının karesine eşittir.
Taban Alanı $= \text{kenar}^2$
$144 \text{ cm}^2 = \text{kenar}^2$
Kenar uzunluğunu bulmak için $144$'ün karekökünü alırız:
Kenar $= \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$.
Yani, kare tabanın bir kenarı $12 \text{ cm}$'dir.
Piramidin yüksekliğini bulmak için yan yüz yüksekliği ile tabanın merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklığı kullanacağız. Kare tabanın merkezinden bir kenarın orta noktasına olan uzaklık, kenar uzunluğunun yarısıdır.
Apotem (r) $= \frac{\text{kenar}}{2} = \frac{12 \text{ cm}}{2} = 6 \text{ cm}$.
Piramidin yüksekliği ($h$), tabanın merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklık (apotem, $r$) ve yan yüz yüksekliği ($l$) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende yan yüz yüksekliği hipotenüstür.
Pisagor Teoremi'ni kullanarak piramidin yüksekliğini bulabiliriz: $h^2 + r^2 = l^2$
Bize yan yüz yüksekliği ($l$) $10 \text{ cm}$ olarak verilmişti ve apotemi ($r$) $6 \text{ cm}$ olarak bulduk.
$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36$
$h^2 = 64$
Yüksekliği bulmak için $64$'ün karekökünü alırız:
$h = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$.
Piramidin yüksekliği $8 \text{ cm}$'dir.
Bir piramidin hacim formülü şöyledir:
Hacim $(V) = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}$
Taban alanı $144 \text{ cm}^2$ ve yüksekliği $8 \text{ cm}$ olarak bulduk.
$V = \frac{1}{3} \times 144 \text{ cm}^2 \times 8 \text{ cm}$
Önce $144$'ü $3$'e bölelim:
$V = 48 \text{ cm}^2 \times 8 \text{ cm}$
Şimdi çarpma işlemini yapalım:
$V = 384 \text{ cm}^3$.
Bu adımları takip ederek piramidin hacmini $384 \text{ cm}^3$ olarak bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
