Yer çekimi ivmesinin enlemle değişimini inceleyen bir araştırmacı, aşağıdaki formüllerden hangisini kullanarak ekvatordaki ve kutuplardaki yer çekimi ivmelerini karşılaştırabilir? ($g$: yer çekimi ivmesi, $G$: evrensel çekim sabiti, $M$: Dünya'nın kütlesi, $R$: Dünya'nın yarıçapı, $\omega$: Dünya'nın açısal hızı, $\lambda$: enlem)
A) $g = \frac{GM}{R^2}$
B) $g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R \cos^2\lambda$
C) $g = \frac{GM}{R^2} + \omega^2 R \cos^2\lambda$
D) $g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R \sin^2\lambda$
Yer çekimi ivmesinin enlemle değişimini incelemek için, Dünya'nın hem kütle çekim etkisini hem de kendi ekseni etrafındaki dönme hareketinden kaynaklanan merkezkaç etkisini hesaba katan bir formüle ihtiyacımız vardır. Bu formül, farklı enlemlerdeki ($ \lambda $) yer çekimi ivmesi ($ g $) değerlerini karşılaştırmamızı sağlar.
-
Kütle Çekim Etkisi: Dünya'nın kütlesi ($ M $) ve yarıçapı ($ R $) nedeniyle oluşan kütle çekim ivmesi, Newton'ın evrensel çekim yasasına göre $ g_{çekim} = \frac{GM}{R^2} $ şeklinde ifade edilir. Bu, dönme etkisi olmasaydı her yerde aynı olacak olan temel çekim ivmesidir.
-
Dönme Etkisi (Merkezkaç Kuvveti): Dünya kendi ekseni etrafında $ \omega $ açısal hızıyla döndüğü için, ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe bu dönmenin hissedilen yer çekimi üzerindeki etkisi değişir. Bir cisim üzerindeki merkezkaç kuvveti, dönme ekseninden uzaklaştıkça artar ve bu kuvvet, yer çekimine zıt yönde etki ederek hissedilen yer çekimi ivmesini azaltır.
-
Bir $ \lambda $ enlemindeki bir noktada, dönme eksenine olan uzaklık $ r = R \cos\lambda $ kadardır. Bu noktadaki merkezkaç ivmesi $ a_c = \omega^2 r = \omega^2 R \cos\lambda $ olur. Ancak, bu merkezkaç ivmesinin yer çekimine zıt yöndeki (dışa doğru) bileşeni önemlidir. Bu bileşen, $ a_{c,zıt} = a_c \cos\lambda = (\omega^2 R \cos\lambda) \cos\lambda = \omega^2 R \cos^2\lambda $ şeklinde hesaplanır.
-
Bu durumda, herhangi bir $ \lambda $ enlemindeki hissedilen yer çekimi ivmesi ($ g $), kütle çekim ivmesinden merkezkaç ivmesinin yer çekimine zıt bileşeninin çıkarılmasıyla bulunur:
$ g = g_{çekim} - a_{c,zıt} $
$ g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R \cos^2\lambda $
-
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $ g = \frac{GM}{R^2} $: Bu formül sadece kütle çekimini ifade eder, Dünya'nın dönme etkisini içermez. Bu nedenle enlemle değişimi incelemek için yetersizdir.
- B) $ g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R \cos^2\lambda $: Bu formül, yukarıda türettiğimiz gibi, hem kütle çekimini hem de Dünya'nın dönmesinden kaynaklanan merkezkaç etkisini doğru bir şekilde hesaba katar. Enlem ($ \lambda $) değiştikçe $ \cos^2\lambda $ terimi değişeceği için, bu formül yer çekimi ivmesinin enlemle değişimini incelemek için uygundur. Örneğin, ekvatorda ($ \lambda = 0^\circ $, $ \cos 0^\circ = 1 $) $ g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R $ iken, kutuplarda ($ \lambda = 90^\circ $, $ \cos 90^\circ = 0 $) $ g = \frac{GM}{R^2} $ olur. Bu da kutuplarda yer çekimi ivmesinin ekvatordan daha büyük olduğunu gösterir.
- C) $ g = \frac{GM}{R^2} + \omega^2 R \cos^2\lambda $: Bu formül, dönme etkisinin yer çekimi ivmesini artırdığını varsayar ki bu yanlıştır. Merkezkaç kuvveti, yer çekimine zıt yönde etki eder ve hissedilen ivmeyi azaltır.
- D) $ g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R \sin^2\lambda $: Bu formül, merkezkaç etkisinin enlemle değişimini yanlış bir trigonometrik ifade ($ \sin^2\lambda $ yerine $ \cos^2\lambda $ olmalıydı) ile vermiştir.
Bu analizlere göre, yer çekimi ivmesinin enlemle değişimini doğru bir şekilde ifade eden formül B seçeneğinde verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
