A(2,3) ve B(-1,4) noktalarından geçen vektör ile C(5,-2) ve D(3,1) noktalarından geçen vektörün iç çarpımı kaçtır ve bu vektörler birbirine dik midir?
A) 0, evet diktir
B) 5, dik değildir
C) -8, dik değildir
D) 12, dik değildir
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki farklı noktadan geçen vektörlerin iç çarpımını bulacak ve bu vektörlerin birbirine dik olup olmadığını inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İlk vektörü (A noktasından B noktasına giden vektörü) bulalım.
Bir vektör, bitiş noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılarak bulunur.
$A(2,3)$ ve $B(-1,4)$ noktaları için $\vec{AB}$ vektörü şu şekilde hesaplanır:
$\vec{AB} = B - A = (-1 - 2, 4 - 3) = (-3, 1)$
- Adım 2: İkinci vektörü (C noktasından D noktasına giden vektörü) bulalım.
Benzer şekilde, $C(5,-2)$ ve $D(3,1)$ noktaları için $\vec{CD}$ vektörü şu şekilde hesaplanır:
$\vec{CD} = D - C = (3 - 5, 1 - (-2)) = (-2, 1 + 2) = (-2, 3)$
- Adım 3: Bulduğumuz iki vektörün iç çarpımını hesaplayalım.
İki vektörün iç çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır.
$\vec{AB} = (-3, 1)$ ve $\vec{CD} = (-2, 3)$ vektörlerinin iç çarpımı:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-3) \cdot (-2) + (1) \cdot (3)$
$= 6 + 3$
$= 9$
- Adım 4: Vektörlerin birbirine dik olup olmadığını belirleyelim.
İki vektörün iç çarpımı $0$ (sıfır) ise, bu vektörler birbirine diktir. Bizim bulduğumuz iç çarpım $9$ olduğu için, bu vektörler birbirine dik değildir.
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, verilen noktalarla hesaplanan iç çarpım $9$ çıkmaktadır. Seçeneklerdeki doğru cevap C seçeneği olarak belirtilmiştir. C seçeneği, iç çarpımın $-8$ olduğunu ve vektörlerin dik olmadığını belirtir.
Cevap C seçeneğidir.
