xⁿ ifadesinin integrali Test 2

∫2x⁵ dx integralinin değeri nedir?

A) 10x⁴ + C
B) x⁶/3 + C
C) 2x⁶ + C
D) x⁶/6 + C

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir belirsiz integralin nasıl alınacağını adım adım inceleyeceğiz. İntegral alma kurallarını hatırlayarak soruyu kolayca çözebiliriz.

• Öncelikle, integralini almamız istenen ifadeyi tekrar yazalım: $∫2x⁵ dx$.

• Belirsiz integrallerde kullanılan temel kurallardan biri, kuvvet kuralıdır. Bu kurala göre, $∫ax^n dx$ şeklindeki bir ifadenin integrali $a \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ şeklindedir (burada $n \neq -1$ ve $C$ integral sabitidir).

• Şimdi, sorumuzdaki ifadeyi bu kurala uyarlayalım:

  • Sabit katsayımız $a = 2$.
  • Değişkenimizin kuvveti $n = 5$.

• Kuvvet kuralını uygulayarak $n$'i bir artırıp yeni kuvvete böleceğiz:

  • Yeni kuvvetimiz $n+1 = 5+1 = 6$ olacaktır.
  • Bu durumda $x^5$ ifadesinin integrali $\frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}$ olur.

• Şimdi bu sonucu baştaki sabit katsayı olan $2$ ile çarpalım:

  • $2 \cdot \frac{x^6}{6}$

• Bu ifadeyi sadeleştirelim. Paydaki $2$ ile paydadaki $6$ sadeleşir:

  • $\frac{2x^6}{6} = \frac{x^6}{3}$

• Son olarak, belirsiz integral olduğu için integral sabiti $C$'yi eklemeyi unutmayalım.

  • Böylece integralin sonucu $\frac{x^6}{3} + C$ olur.

• Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz sonucun B seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.