xⁿ ifadesinin integrali Test 2

∫√x dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1/2√x) + C
B) (2/3)x√x + C
C) (3/2)x^(3/2) + C
D) (2/3)x^(3/2) + C

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda temel integral alma kurallarından biri olan kuvvet kuralını uygulayacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: İntegrali Alınacak İfadeyi Üslü Biçimde Yazma

  İntegralini alacağımız ifade $\sqrt{x}$'tir. Karekök içindeki bir ifadeyi üslü sayı olarak yazmak, integral almayı kolaylaştırır. $\sqrt{x}$ ifadesi, $x^{1/2}$ olarak yazılabilir.

  Yani, integralimiz $\int x^{1/2} dx$ şeklini alır.

• Adım 2: İntegral Kuvvet Kuralını Hatırlama

  Genel integral kuvvet kuralı şöyledir:

  $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$ ve $C$ bir integral sabitidir).

• Adım 3: Kuralı Uygulama

  Bizim durumumuzda, $n = 1/2$'dir. Şimdi bu değeri kurala uygulayalım:

  • Üsse $1$ ekleyelim: $n+1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}$.
  • Yeni üssü paydaya yazalım: $\frac{x^{3/2}}{3/2}$.

  Böylece integralimiz $\frac{x^{3/2}}{3/2} + C$ olur.

• Adım 4: İfadeyi Sadeleştirme

  Kesirli bir paydayı ters çevirip çarparak ifadeyi daha düzenli hale getirebiliriz. $\frac{1}{3/2}$ ifadesi $\frac{2}{3}$ olarak yazılır.

  Dolayısıyla, $\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$ olur.

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Elde ettiğimiz sonuç olan $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$ ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, D seçeneği ile birebir eşleştiğini görürüz.

Cevap D seçeneğidir.