Sevgili öğrenciler, bu soru rasyonel sayılar kümesinin önemli bir özelliğini anlamamızı istiyor. İki rasyonel sayı arasında kaç tane rasyonel sayı olduğunu bulmak için adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Verilen Sayıları Anlayalım
- Bize verilen rasyonel sayılar $ \frac{2}{3} $ ve $ \frac{3}{4} $ şeklindedir. Bu sayıların hangi aralıkta olduğunu daha iyi anlamak için paydalarını eşitleyelim.
- $ \frac{2}{3} $ sayısını paydasını 12 yapmak için 4 ile genişletelim: $ \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $
- $ \frac{3}{4} $ sayısını paydasını 12 yapmak için 3 ile genişletelim: $ \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
- Şimdi sayılarımız $ \frac{8}{12} $ ve $ \frac{9}{12} $ oldu. Görüyoruz ki $ \frac{8}{12} < \frac{9}{12} $.
- Adım 2: İlk Bakışta Arada Sayı Var mı?
- $ \frac{8}{12} $ ile $ \frac{9}{12} $ arasında, paydası 12 olan ve payı tam sayı olan başka bir rasyonel sayı göremiyoruz. Ancak bu, arada hiç rasyonel sayı olmadığı anlamına gelmez. Rasyonel sayıları daha da "yakınlaştırabiliriz".
- Adım 3: Paydaları Genişleterek Yeni Sayılar Bulalım
- Arada rasyonel sayı bulmak için paydaları daha da büyütebiliriz. Örneğin, her iki sayının da pay ve paydasını 2 ile çarpalım:
- $ \frac{8}{12} = \frac{8 \times 2}{12 \times 2} = \frac{16}{24} $
- $ \frac{9}{12} = \frac{9 \times 2}{12 \times 2} = \frac{18}{24} $
- Şimdi sayılarımız $ \frac{16}{24} $ ve $ \frac{18}{24} $ oldu. Bu iki sayı arasında $ \frac{17}{24} $ rasyonel sayısı vardır. Demek ki arada en az bir rasyonel sayı bulduk!
- Adım 4: Bu İşlemi Tekrarlayalım
- Peki, sadece bir tane mi var? Hayır! Bu işlemi istediğimiz kadar tekrarlayabiliriz. Örneğin, paydaları 3 ile çarpalım (veya baştaki $ \frac{8}{12} $ ve $ \frac{9}{12} $ sayılarını 3 ile genişletelim):
- $ \frac{8}{12} = \frac{8 \times 3}{12 \times 3} = \frac{24}{36} $
- $ \frac{9}{12} = \frac{9 \times 3}{12 \times 3} = \frac{27}{36} $
- Şimdi $ \frac{24}{36} $ ile $ \frac{27}{36} $ arasında $ \frac{25}{36} $ ve $ \frac{26}{36} $ olmak üzere iki farklı rasyonel sayı bulduk.
- Adım 5: Rasyonel Sayıların Yoğunluk Özelliği
- Bu örnekler bize gösteriyor ki, iki farklı rasyonel sayı arasında her zaman yeni rasyonel sayılar bulabiliriz. Paydaları ne kadar büyütürsek, aradaki "boşluğu" o kadar çok rasyonel sayıyla doldurabiliriz. Bu durum, rasyonel sayılar kümesinin en önemli özelliklerinden biridir ve "yoğunluk özelliği" olarak adlandırılır.
- Matematikte, iki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur.
Bu nedenle, $ \frac{2}{3} $ ile $ \frac{3}{4} $ sayıları arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır.
Cevap D seçeneğidir.
