Sayı Kümelerinin Özellikleri ve Sıralama İlişkisi Test 1

Rasyonel sayılar kümesinde \( \frac{1}{2} \) ile \( \frac{2}{3} \) sayılarının toplamı aşağıdaki hangi iki tam sayı arasında yer alır?

A) 0 ile 1
B) 1 ile 2
C) 2 ile 3
D) 3 ile 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün rasyonel sayılarla toplama işlemi yaparak bir sayının hangi iki tam sayı arasında yer aldığını bulma sorusunu adım adım çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Rasyonel Sayıları Toplamak İçin Ortak Payda Bulma

  Rasyonel sayıları (kesirleri) toplayabilmek için paydalarının aynı olması gerekir. Bize verilen sayılar $ \frac{1}{2} $ ve $ \frac{2}{3} $.

  2 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. Bu, her iki sayının da katı olan en küçük sayıdır.

  • 2'nin katları: 2, 4, 6, 8, ...
  • 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, ...

  Gördüğümüz gibi, en küçük ortak kat 6'dır. Yani ortak paydamız 6 olacak.

• Adım 2: Kesirleri Ortak Paydada Yeniden Yazma

  Şimdi her bir kesri paydası 6 olacak şekilde genişletelim:

  • $ \frac{1}{2} $ kesrini 3 ile genişletiriz (çünkü $ 2 \times 3 = 6 $). Hem payı hem de paydayı 3 ile çarparız: $ \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} $
  • $ \frac{2}{3} $ kesrini 2 ile genişletiriz (çünkü $ 3 \times 2 = 6 $). Hem payı hem de paydayı 2 ile çarparız: $ \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} $

  Artık toplayacağımız kesirler $ \frac{3}{6} $ ve $ \frac{4}{6} $ oldu.

• Adım 3: Kesirleri Toplama

  Paydalar aynı olduğunda, sadece payları toplarız ve paydayı aynı bırakırız:

  $ \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6} $

  Toplamımız $ \frac{7}{6} $.

• Adım 4: Sonucu Tam Sayılarla Karşılaştırmak İçin Dönüştürme

  $ \frac{7}{6} $ bir bileşik kesirdir (payı paydasından büyük). Bu kesri bir tam sayılı kesre veya ondalık sayıya çevirerek hangi tam sayılar arasında olduğunu daha kolay görebiliriz.

  • Tam sayılı kesre çevirme: 7'yi 6'ya böldüğümüzde 1 tam ve 1 kalan olur. Yani $ \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} $
  • Ondalık sayıya çevirme: 7'yi 6'ya böldüğümüzde yaklaşık olarak $ 1.166... $ elde ederiz.
• Adım 5: Sonucun Hangi Tam Sayılar Arasında Olduğunu Belirleme

  Elde ettiğimiz sonuç $ 1 \frac{1}{6} $ veya $ 1.166... $ sayısıdır.

  Bu sayı, 1'den büyük ama 2'den küçüktür.

  Yani $ 1 < 1 \frac{1}{6} < 2 $ veya $ 1 < 1.166... < 2 $.

  Bu durumda, toplam 1 ile 2 tam sayıları arasında yer alır.

Bu bilgiler ışığında, doğru seçeneğin B olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.