Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle bir fonksiyonun belirli bir noktadaki teğetinin denklemini bulmayı öğreneceğiz. Bu tür problemler, türev kavramının en güzel uygulamalarından biridir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.
- Adım 1: Teğet noktasının y-koordinatını bulma
- Bir doğruya teğet olan noktanın hem fonksiyonun üzerinde hem de teğet doğrusunun üzerinde olması gerekir. Bu nedenle, öncelikle $x = 1$ noktasındaki fonksiyon değerini (yani $y$-koordinatını) bulmalıyız.
- Verilen fonksiyon $f(x) = 2x^3 - 3x$.
- $x = 1$ için $f(1)$ değerini hesaplayalım:
- $f(1) = 2(1)^3 - 3(1)$
- $f(1) = 2(1) - 3$
- $f(1) = 2 - 3$
- $f(1) = -1$
- Böylece, teğet noktamız $(x_1, y_1) = (1, -1)$ olarak bulunur.
- Adım 2: Teğetin eğimini bulma
- Bir fonksiyona belirli bir noktada çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türevinin değerine eşittir. Bu yüzden, önce fonksiyonun türevini almalıyız.
- Fonksiyonumuz $f(x) = 2x^3 - 3x$.
- Türev kurallarını kullanarak $f'(x)$'i bulalım:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x)$
- $f'(x) = 2 \cdot (3x^{3-1}) - 3 \cdot (1x^{1-1})$
- $f'(x) = 6x^2 - 3x^0$
- $f'(x) = 6x^2 - 3$
- Şimdi, $x = 1$ noktasındaki eğimi bulmak için $f'(1)$ değerini hesaplayalım:
- $m = f'(1) = 6(1)^2 - 3$
- $m = 6(1) - 3$
- $m = 6 - 3$
- $m = 3$
- Yani, teğet doğrusunun eğimi $m = 3$'tür.
- Adım 3: Teğet denklemini yazma
- Bir noktası $(x_1, y_1)$ ve eğimi $m$ olan bir doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülü ile bulunur.
- Bizim teğet noktamız $(x_1, y_1) = (1, -1)$ ve eğimimiz $m = 3$.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım:
- $y - (-1) = 3(x - 1)$
- $y + 1 = 3x - 3$
- Şimdi $y$'yi yalnız bırakarak denklemi düzenleyelim:
- $y = 3x - 3 - 1$
- $y = 3x - 4$
- Bu, aradığımız teğet doğrusunun denklemidir.
Bulduğumuz denklemi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, $y = 3x - 4$ denkleminin A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
