Rasyonel fonksiyonun tersi (ax+b)/(cx+d) Test 1

f(x) = (2x + 3)/(x - 1) fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) f⁻¹(x) = (x + 3)/(x - 2)
B) f⁻¹(x) = (x - 3)/(x - 2)
C) f⁻¹(x) = (x + 1)/(x - 2)
D) f⁻¹(x) = (x - 1)/(2x + 3)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bir fonksiyonun tersini bulmak, fonksiyonun yaptığı işlemi geri almak gibidir. Gelin, $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ fonksiyonunun tersini adım adım bulalım.

• Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.

  Fonksiyonu daha rahat işlem yapabileceğimiz bir formata dönüştürüyoruz. Yani $f(x)$ ifadesini $y$ ile değiştiriyoruz.

  $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirin.

  Ters fonksiyonun temel mantığı budur. Fonksiyonun girdi ve çıktısını yer değiştirerek, ters işlemi tanımlamaya başlarız. Bu adım, fonksiyonun tersini bulmanın anahtarıdır.

  $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$

• Adım 3: Yeni denklemi $y$ için çözün.

  Şimdi amacımız, $y$ değişkenini yalnız bırakmaktır. Bu, cebirsel manipülasyon gerektiren bir adımdır.

  • Önce paydadaki $(y - 1)$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına çarpım olarak geçirelim:

    $x(y - 1) = 2y + 3$

  • Parantezi dağıtalım:

    $xy - x = 2y + 3$

  • İçinde $y$ olan terimleri eşitliğin bir tarafına, diğer terimleri ise karşı tarafa toplayalım. Genellikle $y$ terimlerini sol tarafa almak işimizi kolaylaştırır:

    $xy - 2y = x + 3$

  • Şimdi sol taraftaki $y$ terimlerini ortak çarpan parantezine alalım:

    $y(x - 2) = x + 3$

  • Son olarak, $y$'yi yalnız bırakmak için $(x - 2)$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına bölüm olarak geçirelim:

    $y = \frac{x + 3}{x - 2}$

• Adım 4: $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazın.

  Denklemi $y$ için çözdüğümüze göre, bu $y$ artık orijinal fonksiyonun tersini temsil etmektedir. Bu yüzden $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazarak ters fonksiyonumuzu ifade ederiz.

  $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

Bulduğumuz ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ ifadesi, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.