Sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Eşitsizliği Denkleme Dönüştürerek Kökleri Bulma
- Öncelikle, verilen $x^2 - 4x - 5 < 0$ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini bulmalıyız. Yani $x^2 - 4x - 5 = 0$ denklemini çözeceğiz.
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. Çarpımları $-5$, toplamları $-4$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-5$ ve $1$'dir.
- Bu durumda denklemi $(x-5)(x+1) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Denklemin kökleri, her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur:
- $x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$
- $x+1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$
- Bu kökler, parabolün x eksenini kestiği noktalardır.
- 2. Adım: İşaret İncelemesi Yapma
- Şimdi, bulduğumuz kökleri kullanarak eşitsizliğin hangi aralıkta sağlandığını belirlemeliyiz. Bunun için bir işaret tablosu oluşturabilir veya parabolün grafiğini düşünebiliriz.
- Verilen $x^2 - 4x - 5$ ifadesinde $x^2$'nin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için, bu bir yukarı doğru açılan paraboldür.
- Yukarı doğru açılan bir parabol, kökler arasında (yani $x_2 < x < x_1$ aralığında) negatif değerler alır. Köklerin dışında ise pozitif değerler alır.
- Bizim eşitsizliğimiz $x^2 - 4x - 5 < 0$ olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.
- Köklerimiz $-1$ ve $5$ olduğuna göre, ifade bu kökler arasında negatif değerler alacaktır.
- Yani, $-1 < x < 5$ aralığında $x^2 - 4x - 5$ ifadesi sıfırdan küçüktür.
- 3. Adım: Çözüm Kümesini Belirleme
- Yukarıdaki incelemeler sonucunda, eşitsizliğin çözüm kümesi $x$ değerlerinin $-1$ ile $5$ arasında olduğu aralıktır.
- Bu da $(-1, 5)$ açık aralığı olarak ifade edilir.
Seçeneklere baktığımızda, bu aralığı veren seçenek A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
