Koşullu olasılık formülü Test 2

Bir kutuda 3 mavi ve 2 kırmızı top vardır. Rastgele iki top çekiliyor ve çekilen topların ikisinin de mavi olduğu biliniyor. Buna göre, ilk çekilen topun mavi olma olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{1}{10} \)
B) \( \frac{3}{5} \)
C) \( \frac{3}{10} \)
D) 1

Sevgili öğrenciler, bu soru koşullu olasılık kavramını anlamamız için harika bir fırsat sunuyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim.

• 1. Adım: Soruyu ve Verilenleri Anlayalım
• Kutuda toplam $3$ mavi ve $2$ kırmızı top bulunmaktadır. Yani toplam $5$ top var.
• Rastgele iki top çekiliyor.
• Bize verilen çok önemli bir bilgi var: Çekilen bu iki topun da mavi olduğu biliniyor. Bu, bizim için bir koşul (şart) oluşturuyor.
• Sorulan ise: Bu koşul altında, ilk çekilen topun mavi olma olasılığı kaçtır?
• 2. Adım: Olayları Tanımlayalım
• $M_1$: İlk çekilen topun mavi olması olayı.
• $M_2$: İkinci çekilen topun mavi olması olayı.
• $E$: Çekilen iki topun da mavi olması olayı. Bu olay, hem ilk topun mavi olması ($M_1$) hem de ikinci topun mavi olması ($M_2$) durumlarının birlikte gerçekleşmesidir. Yani, $E = M_1 \cap M_2$.
• 3. Adım: Soruyu Matematiksel Olarak İfade Edelim
• Bize sorulan, $E$ olayının (yani iki topun da mavi olmasının) gerçekleştiği bilindiğinde, $M_1$ olayının (yani ilk topun mavi olmasının) gerçekleşme olasılığıdır.
• Bu, koşullu olasılık olarak $P(M_1 | E)$ şeklinde yazılır.
• $E$ olayının tanımını yerine koyarsak, aslında $P(M_1 | M_1 \cap M_2)$ değerini bulmamız isteniyor.
• 4. Adım: Koşullu Olasılık Formülünü Uygulayalım
• Genel koşullu olasılık formülü şöyledir: $P(X | Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$
• Burada $X$ olayımız $M_1$ (ilk topun mavi olması) ve $Y$ olayımız $M_1 \cap M_2$ (iki topun da mavi olması).
• Formülü uygulayalım: $P(M_1 | M_1 \cap M_2) = \frac{P(M_1 \cap (M_1 \cap M_2))}{P(M_1 \cap M_2)}$
• Şimdi pay kısmındaki kesişime dikkat edelim: $M_1 \cap (M_1 \cap M_2)$. Bu ifade, "ilk topun mavi olması" ve "hem ilk topun hem de ikinci topun mavi olması" olaylarının birlikte gerçekleşmesidir. Eğer hem ilk top hem de ikinci top mavi ise, ilk top zaten kesinlikle mavidir. Bu nedenle, $M_1 \cap (M_1 \cap M_2)$ ifadesi aslında $M_1 \cap M_2$ ile aynı anlama gelir.
• Öyleyse formülümüz şu hale gelir: $P(M_1 | M_1 \cap M_2) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_1 \cap M_2)}$
• 5. Adım: Sonuca Ulaşalım
• Bir olayın olasılığının kendisine bölümü (olasılık sıfır olmadığı sürece) her zaman $1$'e eşittir. Kutuda yeterince mavi top olduğu için ($3$ mavi top), iki topun da mavi olma olasılığı ($P(M_1 \cap M_2)$) sıfır değildir.
• Bu durumda, $P(M_1 | M_1 \cap M_2) = 1$.
• Bu sonuç bize şunu anlatır: Eğer iki topun da mavi olduğunu biliyorsak, ilk çekilen topun mavi olma olasılığı kesindir, yani $1$'dir. Çünkü ilk top mavi olmasaydı, iki top da mavi olamazdı.

Cevap D seçeneğidir.