Bir sınavda öğrencilerin %60'ı matematikten, %40'ı ise fizikten başarılı olmuştur. Her iki dersten başarılı olanların oranı %30'dur. Rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{3}{4} \)
C) \( \frac{2}{3} \)
D) \( \frac{1}{2} \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamız için harika bir fırsat sunuyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Verilenleri Belirleyelim ve Olasılık Notasyonlarıyla Yazalım.
- Matematikten başarılı olma olasılığına $P(M)$ diyelim. Soruda bu oran %60 olarak verilmiş, yani $P(M) = 0.60$.
- Fizikten başarılı olma olasılığına $P(F)$ diyelim. Soruda bu oran %40 olarak verilmiş, yani $P(F) = 0.40$.
- Her iki dersten de başarılı olma olasılığına $P(M \cap F)$ diyelim (Matematik VE Fizik). Soruda bu oran %30 olarak verilmiş, yani $P(M \cap F) = 0.30$.
- Adım 2: Ne Aradığımızı Anlayalım.
- Soru bizden "rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı"nı istiyor. Bu bir koşullu olasılıktır.
- Fizikten başarılı olduğu bilindiği için, olasılığı hesaplayacağımız evren artık tüm öğrenciler değil, sadece fizikten başarılı olan öğrencilerdir.
- Bu durumu matematiksel olarak $P(M | F)$ şeklinde ifade ederiz. Yani, Fizik'ten başarılı olma koşulu altında Matematik'ten başarılı olma olasılığı.
- Koşullu olasılık formülü şöyledir: $P(M | F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)}$.
- Adım 3: Formülü Uygulayalım.
- Şimdi, Adım 1'de belirlediğimiz değerleri koşullu olasılık formülüne yerleştirelim:
- $P(M | F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{0.30}{0.40}$
- Adım 4: Hesaplamayı Yapalım.
- Kesri sadeleştirelim:
- $P(M | F) = \frac{0.30}{0.40} = \frac{30}{40}$
- Her iki tarafı da 10 ile bölersek:
- $P(M | F) = \frac{3}{4}$
Bu da bize doğru cevabı verir.
Cevap B seçeneğidir.
