Asal çarpanlarına ayrılmış hali 2² . 3 . 5 olan bir A sayısı ile aralarında asal olan B sayısının EKOK'u 420'dir. Buna göre B sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 7Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde asal çarpanlar, aralarında asal sayılar ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarını kullanarak bir sayıyı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
1. A Sayısını Belirleyelim:
Soruda A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^2 \cdot 3 \cdot 5$ olarak verilmiş. Bu sayıyı hesaplayalım:
$A = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
2. EKOK(A, B) Değerini Asal Çarpanlarına Ayıralım:
EKOK(A, B) = 420 olarak verilmiş. 420 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
$420 = 42 \cdot 10 = (2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$.
3. "Aralarında Asal" Olma Koşulunu Anlayalım:
A ve B sayılarının aralarında asal olması demek, 1'den başka ortak bölenlerinin olmaması demektir. Bu da, A ve B sayılarının ortak asal çarpanı bulunmadığı anlamına gelir.
A sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda B sayısının asal çarpanları arasında 2, 3 veya 5 bulunamaz.
4. EKOK ve Asal Çarpanlar İlişkisini Kullanalım:
İki sayının EKOK'u bulunurken, her asal çarpanın sayılardaki en büyük üssü alınır. Bizim elimizde A'nın asal çarpanları ve EKOK(A, B)'nin asal çarpanları var. B'nin asal çarpanlarını bulmak için bu bilgiyi kullanacağız:
2 asal çarpanı için: A'da $2^2$ var. EKOK'ta da $2^2$ var. ($max(2, \text{B'deki 2'nin üssü}) = 2$). A ve B aralarında asal olduğu için B'de 2 çarpanı olamaz (yani B'deki 2'nin üssü 0'dır). $max(2, 0) = 2$. Bu durum bir çelişki oluşturmaz.
3 asal çarpanı için: A'da $3^1$ var. EKOK'ta da $3^1$ var. ($max(1, \text{B'deki 3'ün üssü}) = 1$). A ve B aralarında asal olduğu için B'de 3 çarpanı olamaz (yani B'deki 3'ün üssü 0'dır). $max(1, 0) = 1$. Bu durum da bir çelişki oluşturmaz.
5 asal çarpanı için: A'da $5^1$ var. EKOK'ta da $5^1$ var. ($max(1, \text{B'deki 5'in üssü}) = 1$). A ve B aralarında asal olduğu için B'de 5 çarpanı olamaz (yani B'deki 5'in üssü 0'dır). $max(1, 0) = 1$. Bu durum da bir çelişki oluşturmaz.
7 asal çarpanı için: A'da 7 çarpanı yok (yani $7^0$). EKOK'ta ise $7^1$ var. ($max(0, \text{B'deki 7'nin üssü}) = 1$). Bu durumda B'de kesinlikle $7^1$ çarpanı olmalıdır. Çünkü EKOK'ta 7 çarpanı varsa ve A'da yoksa, bu çarpan B'den gelmiş demektir.
5. B Sayısını Bulalım:
Yukarıdaki analizlere göre, B sayısının asal çarpanları arasında 2, 3 ve 5 bulunamazken, 7 çarpanı mutlaka bulunmalıdır. Bu durumda B sayısı sadece 7'den oluşur:
$B = 7^1 = 7$.
6. Seçenekleri Kontrol Edelim:
Bulduğumuz B değerinin (7) seçeneklerdeki diğer koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
A) 7: A (60) ile 7 aralarında asal mıdır? Evet, 60'ın asal çarpanları (2, 3, 5) ile 7'nin asal çarpanı (7) arasında ortak yoktur. EKOK(60, 7) = $60 \cdot 7 = 420$. Bu seçenek tüm koşulları sağlıyor.
B) 9: 9'un asal çarpanı 3'tür. A'nın (60) asal çarpanları arasında 3 olduğu için A ve 9 aralarında asal değildir.
C) 14: 14'ün asal çarpanları 2 ve 7'dir. A'nın (60) asal çarpanları arasında 2 olduğu için A ve 14 aralarında asal değildir.
D) 21: 21'in asal çarpanları 3 ve 7'dir. A'nın (60) asal çarpanları arasında 3 olduğu için A ve 21 aralarında asal değildir.
Tüm koşulları sağlayan tek seçenek A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
