Tek fonksiyon nedir (f(-x) = -f(x)) Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi hem tek hem de çift fonksiyon olabilir?

A) f(x) = x³
B) f(x) = x²
C) f(x) = 0
D) f(x) = 1

Bu soruda, hem tek hem de çift fonksiyon olma özelliğini aynı anda taşıyabilen bir fonksiyon arıyoruz. Gelin, bu kavramları hatırlayarak ve adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.

• 1. Tek ve Çift Fonksiyon Tanımları:

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olması için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Çift fonksiyonların grafikleri $y$-eksenine göre simetriktir.

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun tek fonksiyon olması için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

• 2. Hem Tek Hem de Çift Olma Koşulu:

  Eğer bir fonksiyon hem tek hem de çift ise, yukarıdaki iki tanımı aynı anda sağlamalıdır. Yani:

  Çift fonksiyon tanımına göre: $f(-x) = f(x)$

  Tek fonksiyon tanımına göre: $f(-x) = -f(x)$

  Bu iki eşitliği bir araya getirdiğimizde, $f(x)$ ve $-f(x)$ birbirine eşit olmalıdır:

  $f(x) = -f(x)$

  Bu denklemi çözmek için $-f(x)$'i sol tarafa atalım:

  $f(x) + f(x) = 0$

  $2f(x) = 0$

  $f(x) = 0$

  Bu bize gösteriyor ki, bir fonksiyonun hem tek hem de çift olabilmesi için o fonksiyonun her zaman $0$ değerini alması, yani sıfır fonksiyonu olması gerekir.

• 3. Seçenekleri İnceleyelim:

  A) $f(x) = x^3$:

  $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Bu, $f(-x) = -f(x)$ olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla $f(x) = x^3$ bir tek fonksiyondur. Çift değildir.

  B) $f(x) = x^2$:

  $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Bu, $f(-x) = f(x)$ olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla $f(x) = x^2$ bir çift fonksiyondur. Tek değildir.

  C) $f(x) = 0$:

  Çift fonksiyon mu? $f(-x) = 0$ ve $f(x) = 0$. Yani $f(-x) = f(x)$. Evet, çift fonksiyondur.

  Tek fonksiyon mu? $f(-x) = 0$ ve $-f(x) = -0 = 0$. Yani $f(-x) = -f(x)$. Evet, tek fonksiyondur.

  Gördüğümüz gibi, $f(x) = 0$ fonksiyonu hem tek hem de çift fonksiyon özelliklerini aynı anda taşır.

  D) $f(x) = 1$:

  Çift fonksiyon mu? $f(-x) = 1$ ve $f(x) = 1$. Yani $f(-x) = f(x)$. Evet, çift fonksiyondur.

  Tek fonksiyon mu? $f(-x) = 1$ ve $-f(x) = -1$. Yani $f(-x) \neq -f(x)$. Hayır, tek fonksiyon değildir.

Bu analizler sonucunda, sadece $f(x) = 0$ fonksiyonunun hem tek hem de çift fonksiyon olduğu görülmektedir.

Cevap C seçeneğidir.