k.f(x) grafiği (Genişleme/Daralma) Test 1

f(x) = √x fonksiyonunun grafiğine k = 3 dönüşümü uygulanırsa, orijinal grafiğe göre yeni grafik nasıl görünür?

A) Daha dik ve yüksek
B) Daha yatık ve alçak
C) Sağa kaymış
D) Sola kaymış

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun grafiğine dönüşüm uygulamak, onun şeklini ve konumunu değiştirmek anlamına gelir. Bu soruda, $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun grafiğine $k = 3$ dönüşümü uygulanmasını inceleyeceğiz.

• Orijinal Fonksiyonu Anlayalım:

  Başlangıç fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x}$'tir. Bu fonksiyonun grafiği, $(0,0)$ noktasından başlar ve $x$ değerleri arttıkça yavaşça yukarı doğru kıvrılarak artar. Örneğin, $f(1) = 1$, $f(4) = 2$, $f(9) = 3$ gibi değerler alır.

• Dönüşümü Uygulayalım:

  Bir fonksiyona $k$ gibi bir sayı ile dönüşüm uygulanması genellikle iki şekilde olur: ya fonksiyonun kendisi $k$ ile çarpılır ($g(x) = k \cdot f(x)$) ya da $x$ değeri $k$ ile çarpılır ($g(x) = f(k \cdot x)$). Seçenekler "daha dik ve yüksek" veya "daha yatık ve alçak" gibi dikey değişiklikleri işaret ettiği için, bu durumda $k$ çarpanının fonksiyonun dışına, yani $y$ değerlerini etkileyecek şekilde uygulandığını varsayıyoruz. Dolayısıyla, yeni fonksiyonumuz $g(x) = 3 \cdot f(x)$ olacaktır. Yani, $g(x) = 3\sqrt{x}$.

• Yeni Fonksiyonu Orijinal Fonksiyonla Karşılaştıralım:

  Şimdi $f(x) = \sqrt{x}$ ile $g(x) = 3\sqrt{x}$ fonksiyonlarını karşılaştıralım:

  • Orijinal fonksiyonda $x=1$ için $f(1) = \sqrt{1} = 1$ iken, yeni fonksiyonda $g(1) = 3\sqrt{1} = 3$ olur.
  • Orijinal fonksiyonda $x=4$ için $f(4) = \sqrt{4} = 2$ iken, yeni fonksiyonda $g(4) = 3\sqrt{4} = 6$ olur.
  • Orijinal fonksiyonda $x=9$ için $f(9) = \sqrt{9} = 3$ iken, yeni fonksiyonda $g(9) = 3\sqrt{9} = 9$ olur.

  Gördüğünüz gibi, her $x$ değeri için yeni fonksiyonun $y$ değeri, orijinal fonksiyonun $y$ değerinin 3 katı oluyor.

• Grafik Üzerindeki Etkisini Yorumlayalım:

  Fonksiyonun her noktasının $y$ değeri 3 ile çarpıldığında, grafik dikey olarak gerilir. Bu gerilme, grafiğin daha "uzun" veya "yüksek" görünmesine neden olur. Aynı zamanda, aynı $x$ değişimi için $y$ değerindeki değişim 3 katına çıktığı için grafik daha "dik" bir eğime sahip olur.

• Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Daha dik ve yüksek: Bu tanım, grafiğin dikey olarak gerilmesiyle tamamen uyuşmaktadır.
  • B) Daha yatık ve alçak: Bu durum, $k$ değerinin $0$ ile $1$ arasında (örneğin $k=1/3$) olması durumunda meydana gelirdi.
  • C) Sağa kaymış: Bu durum, $f(x-k)$ şeklinde bir dönüşümde (örneğin $f(x-3)$) meydana gelirdi.
  • D) Sola kaymış: Bu durum, $f(x+k)$ şeklinde bir dönüşümde (örneğin $f(x+3)$) meydana gelirdi.

Bu analizlere göre, $k=3$ dönüşümü $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun grafiğini dikey olarak gererek daha dik ve yüksek görünmesini sağlar.

Cevap A seçeneğidir.