10. Sınıf Bire Bir ve Örten Fonksiyon Test 1

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 3x - 5 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Bire bir ama örten değil
B) Örten ama bire bir değil
C) Hem bire bir hem örten
D) Ne bire bir ne örten

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyonun bire bir (one-to-one) ve örten (onto) özelliklerini nasıl inceleyeceğimizi öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = 3x - 5$.

• 1. Bire Bir (One-to-One) Olma Durumu:
  • Bir fonksiyonun bire bir olması demek, tanım kümesindeki farklı her elemanın değer kümesinde farklı bir görüntüye sahip olması demektir. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.
  • Şimdi fonksiyonumuz $f(x) = 3x - 5$ için bu durumu kontrol edelim:
  • Farz edelim ki $f(x_1) = f(x_2)$ olsun.
  • Bu durumda, $3x_1 - 5 = 3x_2 - 5$ denklemini yazabiliriz.
  • Denklemin her iki tarafına $5$ ekleyelim: $3x_1 = 3x_2$.
  • Denklemin her iki tarafını $3$ ile bölelim: $x_1 = x_2$.
  • Gördüğümüz gibi, $f(x_1) = f(x_2)$ kabul ettiğimizde $x_1 = x_2$ sonucuna ulaştık. Bu da fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.
• 2. Örten (Onto) Olma Durumu:
  • Bir fonksiyonun örten olması demek, değer kümesindeki (görüntü kümesiyle karıştırmayalım, burada değer kümesi $\mathbb{R}$'dir) her eleman için tanım kümesinde en az bir karşılık gelen eleman bulunması demektir. Yani, değer kümesinde boşta eleman kalmamalıdır.
  • Fonksiyonumuz $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu, tanım kümesinin de değer kümesinin de tüm gerçek sayılar ($\mathbb{R}$) olduğu anlamına gelir.
  • Şimdi, değer kümesinden herhangi bir $y$ gerçek sayısı alalım. Amacımız, $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x$ gerçek sayısı bulabilmek.
  • $y = 3x - 5$ denklemini $x$ için çözelim:
  • Denklemin her iki tarafına $5$ ekleyelim: $y + 5 = 3x$.
  • Denklemin her iki tarafını $3$ ile bölelim: $x = \frac{y+5}{3}$.
  • Gördüğümüz gibi, değer kümesinden hangi gerçek sayı $y$ değerini alırsak alalım, her zaman tanım kümesinde karşılık gelen bir $x = \frac{y+5}{3}$ gerçek sayısı bulabiliriz. Örneğin, $y=1$ için $x = \frac{1+5}{3} = \frac{6}{3} = 2$ bulunur. $f(2) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$.
  • Bu durum, fonksiyonun örten olduğunu gösterir.
• 3. Sonuç:
  • Fonksiyonumuz $f(x) = 3x - 5$, hem bire bir hem de örten özelliklerini taşımaktadır.

Bu durumda, doğru seçenek C) Hem bire bir hem örten'dir.

Cevap C seçeneğidir.