A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir ve örten fonksiyon sayısı kaçtır?
A) 16
B) 24
C) 64
D) 256
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki küme arasında tanımlanabilecek bire bir (one-to-one) ve örten (onto) fonksiyon sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Kümeleri ve Eleman Sayılarını Belirleyelim.
- Verilen kümeler: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $B = \{a, b, c, d\}$.
- A kümesinin eleman sayısı $|A| = 4$'tür.
- B kümesinin eleman sayısı $|B| = 4$'tür.
- Adım 2: Bire Bir ve Örten Fonksiyon Kavramlarını Hatırlayalım.
- Bir fonksiyonun bire bir (one-to-one) olması demek, A kümesindeki her farklı elemanın B kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi demektir. Yani, $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
- Bir fonksiyonun örten (onto) olması demek, B kümesindeki hiçbir elemanın boşta kalmaması, yani B kümesindeki her elemanın A kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması demektir.
- Adım 3: Bire Bir ve Örten Fonksiyonların Özel Durumunu İnceleyelim.
- Bir fonksiyonun hem bire bir hem de örten olabilmesi için tanım kümesi (A) ve değer kümesinin (B) eleman sayılarının eşit olması şarttır. Eğer eleman sayıları eşit değilse, bire bir ve örten bir fonksiyon tanımlanamaz.
- Bu soruda, $|A| = 4$ ve $|B| = 4$ olduğu için eleman sayıları eşittir. Bu durumda, A'dan B'ye bire bir ve örten fonksiyon tanımlanabilir.
- Genel kural olarak, eğer $|A| = |B| = n$ ise, A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir ve örten fonksiyon sayısı $n!$ (n faktöriyel) kadardır.
- Adım 4: Hesaplamayı Yapalım.
- Bizim durumumuzda $n = 4$'tür.
- O halde, A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir ve örten fonksiyon sayısı $4!$ olacaktır.
- Faktöriyel hesaplaması şu şekildedir: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$.
- $4! = 24$.
Bu durumda, A'dan B'ye tanımlanabilecek 24 farklı bire bir ve örten fonksiyon vardır.
Cevap B seçeneğidir.
