f: Z → Z fonksiyonu f(x) = 2x + 1 kuralı ile tanımlanıyor. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Bire bir ve örten
B) Bire bir ama örten değil
C) Örten ama bire bir değil
D) Ne bire bir ne örten
Öncelikle, verilen fonksiyonu ve özelliklerini inceleyelim:
- Fonksiyon: $f: Z \rightarrow Z$
- Kural: $f(x) = 2x + 1$
Burada tanım kümesi (ilk $Z$) ve değer kümesi (ikinci $Z$) tüm tamsayılardır. Şimdi fonksiyonun bire bir ve örten olma durumlarını adım adım kontrol edelim.
Bire Bir (Injective) Olma Durumu
- Bir fonksiyonun bire bir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır. Matematiksel olarak, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.
- Fonksiyonumuz için bu durumu test edelim:
- $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunu varsayalım. Burada $x_1$ ve $x_2$ tanım kümesinden, yani tamsayılardır.
- Fonksiyon kuralını kullanarak eşitliği yazalım: $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$
- Eşitliğin her iki tarafından $1$ çıkarırsak: $2x_1 = 2x_2$
- Eşitliğin her iki tarafını $2$ ile bölersek: $x_1 = x_2$
- Gördüğümüz gibi, $f(x_1) = f(x_2)$ varsayımı bizi doğrudan $x_1 = x_2$ sonucuna götürdü. Bu da fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir. Yani, tanım kümesindeki her farklı tamsayı, değer kümesinde farklı bir tamsayıya eşlenir.
Örten (Surjective) Olma Durumu
- Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki (yani fonksiyonun tanımlandığı ikinci $Z$ kümesindeki) her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı (ön görüntüsü) olmalıdır. Matematiksel olarak, değer kümesindeki her $y \in Z$ için, $f(x) = y$ olacak şekilde en az bir $x \in Z$ bulunmalıdır.
- Fonksiyonumuz için bu durumu test edelim:
- Değer kümesinden rastgele bir $y$ tamsayısı alalım ve $f(x) = y$ eşitliğini kuralımızla yazalım: $2x + 1 = y$
- Şimdi $x$'i $y$ cinsinden ifade edelim:
- $2x = y - 1$
- $x = \frac{y - 1}{2}$
- Şimdi düşünelim: Değer kümesindeki (yani ikinci $Z$ kümesindeki) her $y$ tamsayısı için, $x = \frac{y - 1}{2}$ ifadesi de bir tamsayı olmak zorunda mıdır? Eğer $x$'in her zaman bir tamsayı olması gerekiyorsa, $y-1$ ifadesinin her zaman çift bir sayı olması gerekir.
- Örneğin, değer kümesinden bir çift tamsayı seçelim. Diyelim ki $y = 2$.
- Bu durumda $x = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ olur.
- Ancak $\frac{1}{2}$ bir tamsayı değildir ($x \notin Z$). Bu demektir ki, değer kümesindeki $2$ elemanının tanım kümesinde bir karşılığı (ön görüntüsü) yoktur. Yani, hiçbir tamsayı $x$ için $f(x) = 2$ olamaz.
- Genel olarak, $f(x) = 2x + 1$ kuralı ile bir tamsayı $x$ yerine ne yazarsak yazalım, $2x$ her zaman çift bir tamsayı olacağı için, $2x+1$ her zaman bir tek tamsayı olacaktır. Değer kümemiz ise tüm tamsayıları (hem tek hem çift) içerir. Dolayısıyla, çift tamsayılar için tanım kümesinde bir karşılık bulunamaz.
- Bu durum, fonksiyonun örten olmadığını gösterir.
Sonuç
- Fonksiyonun bire bir olduğunu bulduk.
- Fonksiyonun örten olmadığını bulduk.
Bu durumda, fonksiyon bire bir ama örten değildir.
Cevap B seçeneğidir.
