Bir üçgende a=5 cm, b=7 cm, c=9 cm ise, B açısının kosinüsü kaçtır?
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkiyi açıklayan Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin üç kenar uzunluğu bilindiğinde herhangi bir açının kosinüsünü bulmamızı sağlar. Bizim durumumuzda, üç kenar uzunluğu verildiği için $B$ açısının kosinüsünü bulacağız.
Bir üçgende kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A$, $B$, $C$ ise, $B$ açısının kosinüsünü bulmak için kullanacağımız Kosinüs Teoremi formülü şöyledir:
$\qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$
Biz $\cos(B)$ değerini aradığımız için formülü yeniden düzenleyelim:
$\qquad 2ac \cos(B) = a^2 + c^2 - b^2$
$\qquad \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
Soruda bize verilen kenar uzunlukları şunlardır: $a = 5$ cm, $b = 7$ cm ve $c = 9$ cm. Bu değerleri formülde yerine koyacağız.
Şimdi formüldeki $a$, $b$, $c$ değerlerini yerine yazarak $\cos(B)$'yi hesaplayalım:
$\qquad \cos(B) = \frac{5^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 9}$
Önce kareleri alalım:
$\qquad 5^2 = 25$
$\qquad 9^2 = 81$
$\qquad 7^2 = 49$
Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
$\qquad \cos(B) = \frac{25 + 81 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 9}$
Pay kısmını hesaplayalım:
$\qquad 25 + 81 - 49 = 106 - 49 = 57$
Payda kısmını hesaplayalım:
$\qquad 2 \cdot 5 \cdot 9 = 10 \cdot 9 = 90$
O halde, $\cos(B)$ değeri:
$\qquad \cos(B) = \frac{57}{90}$
Elde ettiğimiz kesri sadeleştirebiliriz. Hem 57 hem de 90 sayıları 3 ile bölünebilir:
$\qquad 57 \div 3 = 19$
$\qquad 90 \div 3 = 30$
Yani, $\cos(B) = \frac{19}{30}$'dur.
Şimdi bu kesri ondalık sayıya çevirelim: $\frac{19}{30} \approx 0.6333...$
Seçeneklere baktığımızda, $0.6333...$ değeri, seçenekler arasında en çok $0.6$ değerine (C seçeneği) yakındır. Bu tür sorularda bazen en yakın ondalık değeri seçmemiz gerekebilir.
Cevap C seçeneğidir.
