İki aralığın birleşimi nasıl bulunur Test 1

Gerçek sayılarda tanımlı A = {x | -1 ≤ x < 4} ve B = {x | 2 < x ≤ 6} kümeleri veriliyor.
A ∪ B kümesinin belirttiği aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-1, 6]
B) (-1, 6)
C) [-1, 6)
D) (-1, 6]

Bu soruda, gerçek sayılarda tanımlı iki kümenin birleşimini (union) bulmamız isteniyor. Kümeler aralıklar şeklinde verildiği için, bu aralıkları birleştirerek sonuca ulaşacağız.

• Adım 1: Kümeleri aralık notasyonuyla ifade edelim.

  Verilen kümeler şunlardır:

  $A = \{x | -1 \leq x < 4\}$ kümesi, $x$ değerlerinin $-1$'e eşit veya büyük, $4$'ten ise küçük olduğunu belirtir. Aralık notasyonunda bu, $[-1, 4)$ şeklinde yazılır. Köşeli parantez, uç noktanın dahil olduğunu; normal parantez ise uç noktanın dahil olmadığını gösterir.

  $B = \{x | 2 < x \leq 6\}$ kümesi, $x$ değerlerinin $2$'den büyük, $6$'ya eşit veya küçük olduğunu belirtir. Aralık notasyonunda bu, $(2, 6]$ şeklinde yazılır.

• Adım 2: Birleşim ($\cup$) işleminin anlamını hatırlayalım.

  İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Sayı doğrusu üzerinde düşündüğümüzde, $A$ kümesinin kapladığı bölge ile $B$ kümesinin kapladığı bölgenin tamamını kapsayan en geniş aralığı bulmamız gerekir.

• Adım 3: Sayı doğrusu üzerinde aralıkları görselleştirelim ve birleştirelim.

  $A = [-1, 4)$ aralığı, sayı doğrusunda $-1$'den başlar ($-1$ dahil) ve $4$'e kadar gider ($4$ dahil değil).

  $B = (2, 6]$ aralığı, sayı doğrusunda $2$'den başlar ($2$ dahil değil) ve $6$'ya kadar gider ($6$ dahil).

  Şimdi bu iki aralığı birleştirelim:

  Birleşim kümesinin en küçük elemanı, iki kümenin en küçük elemanlarından en küçüğü olacaktır. $A$ kümesinin en küçük elemanı $-1$'dir (dahil). $B$ kümesinin en küçük elemanı $2$'den hemen büyüktür. Dolayısıyla, birleşim kümesinin başlangıç noktası $-1$ olacaktır ve $-1$ dahildir.

  Birleşim kümesinin en büyük elemanı, iki kümenin en büyük elemanlarından en büyüğü olacaktır. $A$ kümesinin en büyük elemanı $4$'ten hemen küçüktür. $B$ kümesinin en büyük elemanı $6$'dır (dahil). Dolayısıyla, birleşim kümesinin bitiş noktası $6$ olacaktır ve $6$ dahildir.

  Bu durumda, $A \cup B$ kümesi $-1$'den $6$'ya kadar olan tüm sayıları kapsar ve hem $-1$ hem de $6$ bu kümeye dahildir.

• Adım 4: Sonucu aralık notasyonuyla yazalım.

  Yukarıdaki adımlara göre, $A \cup B$ kümesi $[-1, 6]$ aralığıdır.

• Adım 5: Seçeneklerle karşılaştıralım.

  Bulduğumuz $[-1, 6]$ aralığı, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.