11. Sınıf Analitik Geometri: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü Test 1

M(0, -3) ve N(6, 0) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 3√5
B) 6
C) 3√3
D) 9
E) 4√2

Sevgili öğrenciler, iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için özel bir formül kullanırız. Bu formül, aslında Pisagor teoreminin koordinat düzlemine uyarlanmış halidir. Haydi, M(0, -3) ve N(6, 0) noktaları arasındaki uzaklığı adım adım bulalım.

• 1. İki Nokta Arası Uzaklık Formülünü Hatırlayalım:

  Koordinat düzleminde verilen iki nokta, $P_1(x_1, y_1)$ ve $P_2(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

  $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• 2. Noktalarımızın Koordinatlarını Belirleyelim:

  Bize verilen noktalar:

  • $M = (x_1, y_1) = (0, -3)$
  • $N = (x_2, y_2) = (6, 0)$
• 3. $x$ ve $y$ Koordinat Farklarını Hesaplayalım:
  • $x$ koordinatlarının farkı: $x_2 - x_1 = 6 - 0 = 6$
  • $y$ koordinatlarının farkı: $y_2 - y_1 = 0 - (-3) = 0 + 3 = 3$
• 4. Farkların Karelerini Alalım:
  • $(x_2 - x_1)^2 = (6)^2 = 36$
  • $(y_2 - y_1)^2 = (3)^2 = 9$
• 5. Kareleri Toplayalım:

  Şimdi bu kareleri toplayalım:

  $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 36 + 9 = 45$

• 6. Karekökünü Alarak Uzaklığı Bulalım:

  Son olarak, bu toplamın karekökünü alarak M ve N noktaları arasındaki uzaklığı buluruz:

  $d = \sqrt{45}$

• 7. Karekökü Sadeleştirelim:

  Karekök içindeki sayıyı sadeleştirebiliriz. $45 = 9 \times 5$ olduğu için:

  $d = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ birim.

Böylece, M(0, -3) ve N(6, 0) noktaları arasındaki uzaklığın $3\sqrt{5}$ birim olduğunu bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.