Bu soruda, verilen eşitsizlik ($a < b$) ve pozitif bir sayı ($c > 0$) kullanarak hangi ifadenin her zaman doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Eşitsizliklerle işlem yaparken bazı temel kuralları hatırlamamız gerekiyor:
- Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarpmak veya bölmek, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpmak veya bölmek, eşitsizliğin yönünü değiştirir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $a - c < b - c$
- Başlangıç eşitsizliğimiz $a < b$.
- Eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayı olan $c$'yi çıkarıyoruz.
- Yukarıdaki kurallara göre, bir eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayıyı çıkarmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Bu nedenle, $a - c < b - c$ ifadesi her zaman doğrudur.
- B) $ac > bc$
- Başlangıç eşitsizliğimiz $a < b$.
- Eşitsizliğin her iki tarafını $c$ ile çarpıyoruz.
- Soruda $c > 0$ (yani $c$ pozitif bir sayı) olarak verilmiş.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarpmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Bu durumda $ac < bc$ olması gerekirdi. Ancak seçenekte $ac > bc$ denildiği için bu ifade her zaman doğru değildir.
- C) $a/c > b/c$
- Başlangıç eşitsizliğimiz $a < b$.
- Eşitsizliğin her iki tarafını $c$'ye bölüyoruz.
- Soruda $c > 0$ (yani $c$ pozitif bir sayı) olarak verilmiş. Pozitif bir sayıya bölmek, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Bu durumda $a/c < b/c$ olması gerekirdi. Ancak seçenekte $a/c > b/c$ denildiği için bu ifade her zaman doğru değildir.
- D) $a + c < b - c$
- Başlangıç eşitsizliğimiz $a < b$.
- Bu ifade, eşitsizliğin bir tarafına $c$ eklenirken diğer tarafından $c$ çıkarılmasını içeriyor. Bu tür bir işlem için genel bir kural yoktur ve her zaman doğru olmayabilir.
- Örnek bir değer vererek test edelim: $a=1$, $b=2$ ve $c=1$ olsun. Bu değerler $a < b$ ($1 < 2$) ve $c > 0$ ($1 > 0$) koşullarını sağlar.
- Şimdi D seçeneğini kontrol edelim: $a + c < b - c \Rightarrow 1 + 1 < 2 - 1 \Rightarrow 2 < 1$.
- $2 < 1$ ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla bu ifade her zaman doğru değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece A seçeneğindeki ifadenin her zaman doğru olduğu görülmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
