9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Test 1

f(x) = x³ - 3x² + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun yerel maksimum ve minimum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Yerel maksimum ve minimum noktalarını bulmak için türev almamız ve kritik noktaları belirlememiz gerekiyor.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alalım

Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Şimdi bu fonksiyonun birinci türevini alalım:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulalım

Kritik noktalar, türevin sıfıra eşit olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Bu durumda, türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Bu denklemin çözümleri $x = 0$ ve $x = 2$'dir. Yani kritik noktalarımızın apsisleri $x = 0$ ve $x = 2$'dir.

• Adım 3: İkinci Türev Testi (Yerel Maksimum/Minimum Belirleme)

Şimdi ikinci türevi alarak bu kritik noktaların yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu belirleyelim:

$f''(x) = 6x - 6$

Şimdi kritik noktaları ikinci türevde yerine koyalım:

• $f''(0) = 6(0) - 6 = -6$. İkinci türev negatif olduğu için $x = 0$ noktasında yerel maksimum vardır.
• $f''(2) = 6(2) - 6 = 6$. İkinci türev pozitif olduğu için $x = 2$ noktasında yerel minimum vardır.
• Adım 4: Apsisleri Toplayalım

Yerel maksimum ve minimum noktalarının apsisleri $0$ ve $2$'dir. Bu iki değerin toplamı:

$0 + 2 = 2$

Bu nedenle, yerel maksimum ve minimum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.

Cevap B seçeneğidir.