12. Sınıf Matematik Türev Alma Kuralları ve Örnekler Test 1

f(x) = 1 / (x² + 4) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) -2x / (x² + 4)²
B) 2x / (x² + 4)²
C) -1 / (x² + 4)²
D) 1 / (2x)
E) -x / (x² + 4)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{1}{x^2 + 4}$. Bu tür bir fonksiyonun türevini almak için farklı yöntemler kullanabiliriz, ancak en pratik olanlardan biri, fonksiyonu üslü ifade şeklinde yazıp zincir kuralını uygulamaktır.

• Adım 1: Fonksiyonu üslü ifade olarak yeniden yazma.

  Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{1}{x^2 + 4}$ ifadesini, paydadaki terimi paya çıkararak üslü bir ifade şeklinde yazabiliriz. Bu durumda kuvvet negatif olur:

  $f(x) = (x^2 + 4)^{-1}$

  Bu şekilde, fonksiyonu $(g(x))^n$ biçiminde görmüş oluruz, burada $g(x) = x^2 + 4$ ve $n = -1$.

• Adım 2: Zincir kuralını uygulama.

  Bir fonksiyon $(g(x))^n$ biçimindeyken türevi, zincir kuralına göre $n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$ formülüyle bulunur. Şimdi bu kuralı uygulayalım:

  • Öncelikle, iç fonksiyonumuz $g(x) = x^2 + 4$'ün türevini, yani $g'(x)$'i bulalım.
  • $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 4) = 2x + 0 = 2x$.
  • Şimdi zincir kuralını uygulayalım:
  • $f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$
  • $f'(x) = (-1) \cdot (x^2 + 4)^{-1-1} \cdot (2x)$
  • $f'(x) = (-1) \cdot (x^2 + 4)^{-2} \cdot (2x)$
• Adım 3: İfadeyi sadeleştirme.

  Bulduğumuz türev ifadesini daha anlaşılır bir biçimde yazalım:

  $f'(x) = -2x \cdot (x^2 + 4)^{-2}$

  Negatif üslü ifadeyi tekrar payda kısmına alarak pozitif üslü hale getirebiliriz:

  $f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 4)^2}$

• Adım 4: Seçeneklerle karşılaştırma.

  Elde ettiğimiz türev ifadesi $\frac{-2x}{(x^2 + 4)^2}$'dir. Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.