10. Sınıf Bayes Teoremi Nedir? Test 1

1. Bir hastalık için yapılan testin doğruluk oranı %95'tir. Toplumda bu hastalığın görülme sıklığı %2 olduğuna göre, testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı yaklaşık nedir?

A) %28
B) %45
C) %65
D) %82

Bu tür sorular, olasılık teorisinin günlük hayatta ne kadar önemli olduğunu gösteren harika örneklerdir. Özellikle tıbbi testlerin sonuçlarını doğru yorumlamak için Bayes Teoremi'ni kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım ve Olasılıklara Çevirelim:
  • Hastalığın toplumdaki görülme sıklığı (hastalık prevalansı) %2'dir. Bu, rastgele seçilen bir kişinin hasta olma olasılığıdır: $P(\text{Hasta}) = 0.02$
  • Dolayısıyla, rastgele seçilen bir kişinin hasta olmama olasılığı: $P(\text{Hasta Değil}) = 1 - P(\text{Hasta}) = 1 - 0.02 = 0.98$
  • Testin doğruluk oranı %95'tir. Bu, iki anlama gelir:
    • Gerçekten hasta olan birinin testinin pozitif çıkma olasılığı (Doğru Pozitif Oranı): $P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) = 0.95$
    • Gerçekten hasta olmayan birinin testinin negatif çıkma olasılığı (Doğru Negatif Oranı): $P(\text{Negatif} | \text{Hasta Değil}) = 0.95$
  • Bu doğruluk oranlarından, testin hatalı sonuç verme olasılıklarını da çıkarabiliriz:
    • Hasta olan birinin testinin negatif çıkma olasılığı (Yanlış Negatif Oranı): $P(\text{Negatif} | \text{Hasta}) = 1 - P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) = 1 - 0.95 = 0.05$
    • Hasta olmayan birinin testinin pozitif çıkma olasılığı (Yanlış Pozitif Oranı): $P(\text{Pozitif} | \text{Hasta Değil}) = 1 - P(\text{Negatif} | \text{Hasta Değil}) = 1 - 0.95 = 0.05$
• 2. Amacımızı Belirleyelim:

  Bizden istenen, testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığıdır. Matematiksel olarak bunu $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif})$ şeklinde ifade ederiz.

• 3. Bayes Teoremi'ni Kullanarak Çözüme Ulaşalım:

  Bayes Teoremi, koşullu olasılıkları tersine çevirmemize yardımcı olur. Formülü şöyledir:

  $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) \times P(\text{Hasta})}{P(\text{Pozitif})}$

  Bu formülde, $P(\text{Pozitif})$ yani "testin pozitif çıkma olasılığı" değerini bulmamız gerekiyor. Bu, hem hasta olup testin pozitif çıkması hem de hasta olmayıp testin pozitif çıkması durumlarını içerir:

  $P(\text{Pozitif}) = P(\text{Pozitif} | \text{Hasta}) \times P(\text{Hasta}) + P(\text{Pozitif} | \text{Hasta Değil}) \times P(\text{Hasta Değil})$
  • Önce $P(\text{Pozitif})$ değerini hesaplayalım: $P(\text{Pozitif}) = (0.95 \times 0.02) + (0.05 \times 0.98)$ $P(\text{Pozitif}) = 0.019 + 0.049$ $P(\text{Pozitif}) = 0.068$

    Yani, toplumda rastgele seçilen bir kişinin testinin pozitif çıkma olasılığı %6.8'dir.

  • Şimdi bu değeri Bayes Teoremi formülüne yerleştirelim: $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{0.95 \times 0.02}{0.068}$ $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) = \frac{0.019}{0.068}$ $P(\text{Hasta} | \text{Pozitif}) \approx 0.2794$
• 4. Sonucu Yorumlayalım:

  Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı yaklaşık $0.2794$ veya %27.94'tür. Bu da en yakın seçenek olan %28'e denk gelir.

Cevap A seçeneğidir.