|2x - 1| < 7 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
1. Mutlak Değer Eşitsizliğinin Temel Kuralı:
Bir mutlak değer eşitsizliği olan $|A| < B$ (burada $B$ pozitif bir sayı olmalıdır) ifadesi, $A$ sayısının $0$'a olan uzaklığının $B$'den küçük olduğu anlamına gelir. Bu tür eşitsizlikler, $-B < A < B$ şeklinde birleşik bir eşitsizliğe dönüştürülerek çözülür. Bizim sorumuzda $A = 2x - 1$ ve $B = 7$'dir.
2. Eşitsizliği Birleşik Hale Getirme:
Verilen $|2x - 1| < 7$ eşitsizliğini temel kurala göre yazarsak:
$-7 < 2x - 1 < 7$
3. $x$ Değerini Yalnız Bırakma:
Şimdi eşitsizliğin her üç tarafına $1$ ekleyerek $2x$ ifadesini yalnız bırakalım. Bu işlem eşitsizliğin yönünü değiştirmez:
$-7 + 1 < 2x - 1 + 1 < 7 + 1$
$-6 < 2x < 8$
Şimdi de $x$'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her üç tarafını $2$'ye bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yönü yine değişmez:
$\frac{-6}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{8}{2}$
$-3 < x < 4$
4. Tam Sayı Değerlerini Belirleme:
Bulduğumuz $-3 < x < 4$ eşitsizliği, $x$'in $-3$'ten büyük ve $4$'ten küçük tam sayılar olması gerektiğini ifade eder. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır:
$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$
5. Tam Sayı Değerlerini Sayma:
Bu aralıkta toplam kaç farklı tam sayı olduğunu sayalım:
$-2$ (1. değer)
$-1$ (2. değer)
$0$ (3. değer)
$1$ (4. değer)
$2$ (5. değer)
$3$ (6. değer)
Gördüğümüz gibi, eşitsizliği sağlayan $6$ farklı tam sayı değeri bulunmaktadır.
